Witam,
Mam jedno z dwóch zadań z którym sobie nie radzę, a mianowicie:
Wyznaczyć wektory własne i wartości wlasne macierzy. Pokaż, że wektory własne są ortogonalne:
Macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3-\lambda & 2-i & -3i\\ 2+i & -\lambda & 1-i \\ 3i & 1+i & -\lambda\end{bmatrix}}\)
Wartości własne wyliczyłam, są to: \(\displaystyle{ \lambda_1=-1, \lambda_2=6, \lambda_3=2}\)
Proszę o pomoc i w miarę możliwości nie o sam wynik, a rozwiązanie.
Z góry dziękuje!
Wyznaczyć unormowane wektory własne.
Wyznaczyć unormowane wektory własne.
Ostatnio zmieniony 29 cze 2014, o 15:32 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Wyznaczyć unormowane wektory własne.
Skoro z powodzeniem policzyłaś wartości własne to z wektorami własnymi też nie powinno być problemu. Np. dla \(\displaystyle{ \lambda_1=-1}\)
liczysz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3-(-1) & 2-i & -3i\\ 2+i & -(-1) & 1-i \\ 3i & 1+i & -(-1)\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}}\) jest wektorem własnym. Więc rozwiązujesz ten układ równań.
Ortogonalność sprawdzamy iloczynem skalarnym.
liczysz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3-(-1) & 2-i & -3i\\ 2+i & -(-1) & 1-i \\ 3i & 1+i & -(-1)\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}}\) jest wektorem własnym. Więc rozwiązujesz ten układ równań.
Ortogonalność sprawdzamy iloczynem skalarnym.
Wyznaczyć unormowane wektory własne.
Hmm... To wiedziałam i to zrobiłam, ale co dalej? Mam układ trzech równań z trzema niewiadomymi...
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Wyznaczyć unormowane wektory własne.
Tw. Kroneckera-Capellego. Np. \(\displaystyle{ x_{3}}\) może być parametrem (ponieważ rząd tej macierzy wynosi \(\displaystyle{ 2}\)).