Wyznaczyć unormowane wektory własne.

[Zukochan]

Witam,

Mam jedno z dwóch zadań z którym sobie nie radzę, a mianowicie:

Wyznaczyć wektory własne i wartości wlasne macierzy. Pokaż, że wektory własne są ortogonalne:
Macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3-\lambda & 2-i & -3i\\ 2+i & -\lambda & 1-i \\ 3i & 1+i & -\lambda\end{bmatrix}}\)

Wartości własne wyliczyłam, są to: \(\displaystyle{ \lambda_1=-1, \lambda_2=6, \lambda_3=2}\)

Proszę o pomoc i w miarę możliwości nie o sam wynik, a rozwiązanie.

Z góry dziękuje!

[Kacperdev]

Skoro z powodzeniem policzyłaś wartości własne to z wektorami własnymi też nie powinno być problemu. Np. dla \(\displaystyle{ \lambda_1=-1}\)

liczysz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3-(-1) & 2-i & -3i\\ 2+i & -(-1) & 1-i \\ 3i & 1+i & -(-1)\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}=0}\)

gdzie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}}\) jest wektorem własnym. Więc rozwiązujesz ten układ równań.

Ortogonalność sprawdzamy iloczynem skalarnym.

[Zukochan]

Hmm... To wiedziałam i to zrobiłam, ale co dalej? Mam układ trzech równań z trzema niewiadomymi...

[Kacperdev]

Tw. Kroneckera-Capellego. Np. \(\displaystyle{ x_{3}}\) może być parametrem (ponieważ rząd tej macierzy wynosi \(\displaystyle{ 2}\)).