W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\) definiujemy podzbiory:
\(\displaystyle{ A=\left\{ w \in \mathbb{R}[x]_n: w(0)=w'(0)=0 \right\} \\
B=\left\{ w \in \mathbb{R}[x]_n:w''(0)=w^{(3)}(0)=...=w^{(n)}(0)=0 \right\}}\).
Uzasadnij, że są one podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\). Znajdź wymiary i bazy tych podprzestrzeni. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\) jest sumą prostą wypisanych wyżej podprzestrzeni.
Przestrzeń wielomianów, sprawdzenie
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Przestrzeń wielomianów, sprawdzenie
Taki zapis gdy chcemy to badać w kontekscie przestrzeni liniowych jest niezbyt wygodny.
Ale tak, ogólnie aby zachodziła taka zależność przy wielomianach n-tego stopnia, wszystko co stoi jako wyraz wolny oraz przy potędze I-go stopnia musi być zerem. Tzn.
\(\displaystyle{ w\left( x\right) = a_n x ^{n} + a_{n-1} x ^{n-1} + ... + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + 0 + 0}\)
Jakbyśmy to teraz zinterpretowali jako wektor wtedy:
\(\displaystyle{ w\left( x\right)= \left( a_{n}, a_{n-1}, ... , a_{3}, a_{2},0,0\right)}\)
Rozjaśnia sie?
Ale tak, ogólnie aby zachodziła taka zależność przy wielomianach n-tego stopnia, wszystko co stoi jako wyraz wolny oraz przy potędze I-go stopnia musi być zerem. Tzn.
\(\displaystyle{ w\left( x\right) = a_n x ^{n} + a_{n-1} x ^{n-1} + ... + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + 0 + 0}\)
Jakbyśmy to teraz zinterpretowali jako wektor wtedy:
\(\displaystyle{ w\left( x\right)= \left( a_{n}, a_{n-1}, ... , a_{3}, a_{2},0,0\right)}\)
Rozjaśnia sie?
- Hausa
- Użytkownik
- Posty: 448
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 17:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Szastarka
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 50 razy
Przestrzeń wielomianów, sprawdzenie
Tak! Dzięki Czyli teraz \(\displaystyle{ \dim A=n-1}\), a baza to \(\displaystyle{ (x^n,x^{n-1}, \ldots ,x^2)}\), a w B musi być wielomian postaci \(\displaystyle{ w(x)=a_1 x+a_0}\), bo inaczej się nie wyzerują te pochodne, czyli \(\displaystyle{ \dim B=2}\), a baza \(\displaystyle{ (x,1)}\).
A warunek na podprzestrzeń sprawdzam na samych współczynnikach potraktowanych jako wektor, tak?
A warunek na podprzestrzeń sprawdzam na samych współczynnikach potraktowanych jako wektor, tak?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Przestrzeń wielomianów, sprawdzenie
Tak. przy okazji wyjaśnia Ci sie sprawa na sumę prostą skoro masz policzone wymiary obu przestrzeni i wiesz ile wynosi wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\).