Przestrzeń wielomianów, sprawdzenie

[Hausa]

W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\) definiujemy podzbiory:

\(\displaystyle{ A=\left\{ w \in \mathbb{R}[x]_n: w(0)=w'(0)=0 \right\} \\
B=\left\{ w \in \mathbb{R}[x]_n:w''(0)=w^{(3)}(0)=...=w^{(n)}(0)=0 \right\}}\).

Uzasadnij, że są one podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\). Znajdź wymiary i bazy tych podprzestrzeni. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\) jest sumą prostą wypisanych wyżej podprzestrzeni.

[Kacperdev]

ok. Skupmy sie na pierwszej przestrzeni. Jakiej postaci muszą być wielomiany aby zachodziła ta zależność?

[Hausa]

Czyli wszystkie takie, gdzie 0 jest pierwiastkiem podwójnym, \(\displaystyle{ w(x)=x^2 \cdot p(x)}\) ?

[Kacperdev]

Taki zapis gdy chcemy to badać w kontekscie przestrzeni liniowych jest niezbyt wygodny.
Ale tak, ogólnie aby zachodziła taka zależność przy wielomianach n-tego stopnia, wszystko co stoi jako wyraz wolny oraz przy potędze I-go stopnia musi być zerem. Tzn.

\(\displaystyle{ w\left( x\right) = a_n x ^{n} + a_{n-1} x ^{n-1} + ... + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + 0 + 0}\)

Jakbyśmy to teraz zinterpretowali jako wektor wtedy:

\(\displaystyle{ w\left( x\right)= \left( a_{n}, a_{n-1}, ... , a_{3}, a_{2},0,0\right)}\)

Rozjaśnia sie?

[Hausa]

Tak! Dzięki Czyli teraz \(\displaystyle{ \dim A=n-1}\), a baza to \(\displaystyle{ (x^n,x^{n-1}, \ldots ,x^2)}\), a w B musi być wielomian postaci \(\displaystyle{ w(x)=a_1 x+a_0}\), bo inaczej się nie wyzerują te pochodne, czyli \(\displaystyle{ \dim B=2}\), a baza \(\displaystyle{ (x,1)}\).
A warunek na podprzestrzeń sprawdzam na samych współczynnikach potraktowanych jako wektor, tak?

[Kacperdev]

Tak. przy okazji wyjaśnia Ci sie sprawa na sumę prostą skoro masz policzone wymiary obu przestrzeni i wiesz ile wynosi wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\).

[Hausa]

Teraz już to widzę, jeszcze raz dziękuję!