Iloczyn skalarny w przestrzeni wielomianów

[PLrc]

Chcę obliczyć iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni wielomianów, w której funkcje są określone na przedziale (0,1): \(\displaystyle{ a+bx}\) i \(\displaystyle{ c+hx}\), raz korzystając ze wzoru: \(\displaystyle{ \sum_{i}^{}a _{i} b _{i}}\) a raz za pomocą wzoru: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)g(x)dx}\) Moja baza to: \(\displaystyle{ 1,\ x.}\)

W tym celu normuję sobie bazę i dostaję wektory bazowe: \(\displaystyle{ 1, \sqrt{3}x}\) W tej bazie iloczyn skalarny obliczony za pomocą sumy wychodzi mi: \(\displaystyle{ ac+\frac{bh}{3}}\) a za pomocą całki: \(\displaystyle{ ac+ \frac{1}{2}(ah+bc)+ \frac{bh}{3}}\) Ale te iloczyny skalarne powinny być równe. Gdzie robię bład?

-- 27 cze 2014, o 16:18 --

Żeby móc skorzystać ze wzoru: \(\displaystyle{ \sum_{i}^{}a _{i} b _{i}}\) to wektory bazy muszą być ortogonalne, ale jak mam sprawić, żeby wektory \(\displaystyle{ 1,\ x}\) były ortogonalne?

[a4karo]

Ale te iloczyny skalarne nie sa takie same, wiec się nie dziw, że dostajesz inne wyniki.

Wektory 1 i \(\displaystyle{ x}\) są ortogonalne w pierwszym iloczynie, a w drugim nie są. Możesz z nich zrobić dwa wektory ortogonalne modyfikując je (spojrz do wiki: Ortogonalizacja Grama-Schmidta)

[PLrc]

Ale te iloczyny skalarne nie sa takie same, wiec się nie dziw, że dostajesz inne wyniki.

Co masz na myśli mówiąc, że iloczyny skalarne nie są takie same?

Zortogonalizowałem sobie \(\displaystyle{ 1\ i\ x}\) tym algorytmem i otrzymałem wektory \(\displaystyle{ 1\ i\ x- \frac{1}{2}}\) Potem je sobie znormalizowałem i dostałem \(\displaystyle{ 1\ i\ 2\sqrt{3}(x- \frac{1}{2})}\) W takiej bazie wektory \(\displaystyle{ 1\ i \ x}\) maja wspołrzędne \(\displaystyle{ [1,0],\ [ \frac{1}{2}, \frac{ \sqrt{3} }{6}]}\)Widać z tego, że 1 i x po prostu nie są ortogonalne.

[a4karo]

Po prostu: prostopadłość w jednym iloczynie skalarnym nie pociąga za sobą prostopadłości w drugim iloczynie.

Pojęcie prostopadłości nie jest pojęciem absolutnym: zależy od wybranego iloczynu skalarnego. To pojęcie prostopadłości, z którym spotykamy sie na co dzien odpowiada iloczynowi skalarnemu \(\displaystyle{ <x,y>=x_1y_1+x_2y_2}\), gdzie \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2)}\) są współrzędnymi kartezjańskimi.

[PLrc]

No tak, ja to wiem, ale w danej przestrzeni unitarnej z konkretnym iloczynem skalarnym wektory albo zawsze są ortogonalne, albo zawsze nie są.

Co do zadania to doszedłem do wniosku, że zadanie jest źle sformułowane. Autor podręcznika kilka stron wcześniej pisze, że wzór \(\displaystyle{ \vec{a} \vec{b} =\sum_{n}^{} a _{n} b_{n}}\) można zastosować tylko gdy baza jest ortonormalna, a potem o tym zapomina. Napisał tylko, że "trzeba znormalizować bazę".

Co to do Ortogonalizacji Grama-Schmidta, to dziękuję za pomoc. Coś mi świta, że doktor wspomniał nam o tym na wykładzie z algebry, ale to było tak dawno, że już zupełnie zapomniałem.

-- 27 cze 2014, o 21:21 --

I w bazie ortonormalnej wychodzi to co powinno. Wcześniej napisałem, że wektory \(\displaystyle{ 1\ i\ x}\)
mają współrzędne \(\displaystyle{ [1,0],\ [ \frac{1}{2} , \frac{ \sqrt{3} }{6}]}\) Czyli a+bx i c+hx mają współrzędne: \(\displaystyle{ a+bx=[a,0]+[ \frac{b}{2}, \frac{ \sqrt{3} b}{6}]}\)
\(\displaystyle{ c+hx=[c,0]+[ \frac{h}{2}, \frac{ \sqrt{3} h}{6}]}\)Jak się policzy iloczyn skalarny po składowych, to wychodzi dokładnie to samo co za pomocą całki.