Witajcie!
Mam problem z takim zadaniem:
Sprawdź czy kąt pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{v} = (2,1-2) \times (1,3,-1)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{u} = (1,2-3)}\) jest ostry.
Normalnie wiedziałbym jak zrobić te zadanie.
Policzyłbym \(\displaystyle{ \left| \vec{v} \right| , \left| \vec{u} \right|}\) potem ze wzoru \(\displaystyle{ \vec{v} \circ \vec{u} = \left| \vec{v} \right| \cdot \left| \vec{u} \right| \cdot \cos}\),
obliczyłbym cosinusa i na tej podstawie stwierdziłbym czy kąt jest ostry.
Ale (fakt, nie uważałem na algberze ) tutaj nie wiem jak policzyć długosc wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\), oraz iloczyn skalarny tych dwóch wektorów.
Będę wdzięczny za wszelką pomoc!
Kat ostry pomiędzy wektorami w ukł. kartezjańskim
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Kat ostry pomiędzy wektorami w ukł. kartezjańskim
Iloczyn wektorowy (jego wynikiem jest wektor)
\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b} =\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x _{a} &y_{a}&z_{a}\\x _{b} &y_{b}&z_{b}\end{array}\right|=\left[ \left|\begin{array}{cc} y_{a}&z_{a}\\y_{b}&z_{b}\end{array}\right|, -\left|\begin{array}{cc} x _{a} &z_{a}\\x _{b} &z_{b}\end{array}\right|, \left|\begin{array}{cc} x _{a} &y_{a}\\x _{b} &y_{b}\end{array}\right|\right]}\)
iloczyn skalarny (jego wynikiem jest liczba)
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} =x _{a} \cdot x _{b}+y_{a} \cdot y _{b}+z_{a} \cdot z _{b}}\)
Długość wektora :
\(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right|= \sqrt{x _{a}^2+y_{a}^2+z_{a}^2}}\)
Twoje zadanie:
\(\displaystyle{ \vec{v} = [2,1-2] \times [1,3,-1]=[5,0,5]}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{v} \right|= \sqrt{5^2+0^2+5^2 }=5 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{u} \right|= \sqrt{1^2+2^2+(-3)^2 }= \sqrt{14}}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v} =5 \cdot 1+0 \cdot 3+5 \cdot (-3)=-10}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v} }{\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| } = \frac{-10}{5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{14} } = \frac{- \sqrt{7} }{7}}\)
Kąt jest rozwarty
\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b} =\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\x _{a} &y_{a}&z_{a}\\x _{b} &y_{b}&z_{b}\end{array}\right|=\left[ \left|\begin{array}{cc} y_{a}&z_{a}\\y_{b}&z_{b}\end{array}\right|, -\left|\begin{array}{cc} x _{a} &z_{a}\\x _{b} &z_{b}\end{array}\right|, \left|\begin{array}{cc} x _{a} &y_{a}\\x _{b} &y_{b}\end{array}\right|\right]}\)
iloczyn skalarny (jego wynikiem jest liczba)
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} =x _{a} \cdot x _{b}+y_{a} \cdot y _{b}+z_{a} \cdot z _{b}}\)
Długość wektora :
\(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right|= \sqrt{x _{a}^2+y_{a}^2+z_{a}^2}}\)
Twoje zadanie:
\(\displaystyle{ \vec{v} = [2,1-2] \times [1,3,-1]=[5,0,5]}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{v} \right|= \sqrt{5^2+0^2+5^2 }=5 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{u} \right|= \sqrt{1^2+2^2+(-3)^2 }= \sqrt{14}}\)
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v} =5 \cdot 1+0 \cdot 3+5 \cdot (-3)=-10}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v} }{\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| } = \frac{-10}{5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{14} } = \frac{- \sqrt{7} }{7}}\)
Kąt jest rozwarty