wektory rozpinające przestrzeń

naciunia7 · Post autor: **naciunia7** » 26 cze 2014, o 15:30

Mam sprawdzić, czy dane 4 wektory rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ \RR ^{4}}\)

Proszę o potwierdzenie czy mój sposób jest dobry.
Sprawdzam, czy dowolny wektor z zadanej przestrzeni jest kombinacją liniową tych 4 wektorów, dochodzę do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\\q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a+b+c-d\\-b+d\\2a+c\\-a+b-c-d\end{array}\right]}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) to współczynniki kombinacji liniowej

Czy wystarczy teraz obliczyć wyznacznik tego co po prawej stronie i jeśli jest różny od zera to istnieje rozwiązanie i dane 4 wektory rozpinają przestrzeń? Jeśli tak, to czy powinnam dodać do tego jakiś komentarz?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 26 cze 2014, o 18:09

Tak, to jedna z możliwości.
Komentarz w razie wątpliwości jak najbardziej. Możesz np. słownie opisać sytuacje, ale nie jest to moim zdaniem aż tak bardzo konieczne (zależy od prowadzącego).

naciunia7 · Post autor: **naciunia7** » 26 cze 2014, o 20:34

Dziękuję
A tak z czystej ciekawości - jaką są inne możliwości?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 26 cze 2014, o 21:07

Wyznacznik w takim wypadku jest najwygodniejszy, ale mając już macierz można się z nią pobawić. Sprowadzać do postaci trójkątnej, elementarne operacje itd.