Podprzestrzenie niezmiennicze

[musialmi]

Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie niezmiennicze oraz wyznaczyć bazy tych podprzestrzeni. Przekształcenie liniowe: \(\displaystyle{ S: \RR^3 \rightarrow \RR^3: S(x,y,z)=(-y,4x+4y,2x+y+5z)}\).

Rozwiązanie: wartości własne wyznaczyłem: \(\displaystyle{ \lambda_{1}=5, \lambda_{2}= \lambda_{3}=2}\).
Wektory własne to takie v, że \(\displaystyle{ S(v)=\lambda v}\). Dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=5}\) rozwiązuję układ:
\(\displaystyle{ -y=5x \\
4x+4y=5y \\
2x+y+5z=5z}\)
Wychodzi z niego, że \(\displaystyle{ x=0, y=0, z - dowolne}\). Podprzestrzeń niezmiennicza to \(\displaystyle{ V_{\lambda_{1}}=\left\{ (0,0,z)\right\}}\). O to chodzi? Baza tej podprzestrzeni to \(\displaystyle{ (0,0,1)}\), tak?

Potem drugi układ dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\). Wychodzi \(\displaystyle{ y - dowolny, x= \frac{-y}{2} , z=0}\). Podprzestrzeń tego to \(\displaystyle{ V_{\lambda_{2,3}}=\left\{ \left( \frac{-y}{2} ,y,0\right) \right\}}\). I baza to \(\displaystyle{ \left( \frac{-1}{2},1,0 \right)}\). Ale czy ta podprzestrzeń nie powinna mieć dwóch wymiarów? Jaka jest w takim razie druga baza?

Dobrze to w ogóle robię? Bo trochę po omacku.

[yorgin]

Idea wszystkiego jest poprawna.

Chcąc znaleźć brakujący wektor własny skojarzony z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda =2}\) możesz skorzystać z

Kod: Zaznacz cały

http://www.google.pl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CB8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fmath.berkeley.edu%2F~peyam%2FMath110Sp13%2FHandouts%2FJordan%2520Canonical%2520Form.pdf&ei=_j65U5jxDaqK4gT8lIDYAg&usg=AFQjCNH_QlNkUEYW9Gow-SpIBgkVajmS9A&bvm=bv.70138588,d.bGE