Obraz i jądro, dość typowe

[musialmi]

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L: \RR^3 \rightarrow \RR^3}\) spełnia warunki \(\displaystyle{ L(0,1,1)=(0,1,1), L(2,2,0)=(0,0,0), L(1,0,0)=(1,0,0)}\). Wyznacz obraz i jądro tego przekształcenia oraz oblicz \(\displaystyle{ L^{201}(0,1,2)}\).

Z tym ostatnim to sobie poradziłem, ale nie jestem pewien wyznaczenia obrazu i jądra.
Współrzędne wektorów, które są dane, są wyznaczone w bazie standardowej. Chcę zatem znaleźć wzór tego przekształcenia w bazie standardowej. Część tego, co potrzebuję, już mam:
\(\displaystyle{ L(1,0,0)=(1,0,0)}\)
Zauważam, że:
\(\displaystyle{ (0,1,0)= \frac{1}{2}(2,2,0) -(1,0,0) \\
L(0,1,0)=...=(-1,0,0)}\)
Wychodzi wektor liniowo zależny od pierwszego. Nie wiem jak to mam rozumieć, skoro odwzorowanie L jest opisane jako \(\displaystyle{ L: \RR^3 \rightarrow \RR^3}\), a baza wyjdzie dwuwymiarowa... No ale dobra, nie poddajemy się. Kolejne spostrzeżenie:
\(\displaystyle{ (0,0,1)=(0,1,1)-(0,1,0) \\
L(0,0,1)=...=(1,1,1)}\)
No to czas wyznaczyć wzór przekształcenia:
\(\displaystyle{ L(x,y,z)=L(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1))=...=(x-y+z,z,z)}\)

I dlatego też jądro i obraz to wg mnie kolejno:
\(\displaystyle{ KerL=\left\{ (x,x,0)\right\} \\
ImL=\left\{ (x,y,z): x \neq y \vee z \neq 0\right\}}\)
Mamy jednowymiarowe jądro i jednowymiarowy obraz, co by się zgadzało z dwuwymiarową bazą.
Dobrze to jest zrobione?

[Lider_M]

Trochę zamotane (przy brzydszych wektorach nie pozauważasz tak łatwo), można skorzystać z tego, że macierz odwzorowania spełnia następujące równanie macierzowe (dlaczego?):
\(\displaystyle{ M_{st.}^{st.}(L)\cdot\left[\begin{array}{ccc}
0&2&1\\
1&2&0\\
1&0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
0&0&1\\
1&0&0\\
1&0&0\end{array}\right]}\)
Mając macierz w bazach standardowych już łatwo wyznaczyć jądro i obraz.

[musialmi]

Nie wiem dlaczego. Nie wiem nawet co jest niewiadomą w tym równaniu. Po prawej widać co mamy, po lewej pokazana macierz też jest wiadoma, ale ta macierz na samym początku... To jest macierz odwzorowania w bazach standardowych?

[Lider_M]

Niewiadomą jest macierz przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazach standardowych - \(\displaystyle{ M_{st.}^{st.}(L)}\).

Zastanów się co robi ta macierz dla kolejnych wektorów \(\displaystyle{ (0,1,1),(2,2,0),(1,0,0)}\), stąd będzie wynikała podana równość.

[musialmi]

Mnożenie macierzy = składanie odwzorowań. Jedna z tych trzech macierzy (środkowa dokładniej) jest macierzą odwzorowania identyczności. Wniosków wciąż nie umiem wysnuć.

[Lider_M]

Skoro \(\displaystyle{ L(0,1,1)=(0,1,1)}\) to \(\displaystyle{ M_{st.}^{st.}(L)\cdot\left[\begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array}\right]}\), analogicznie z pozostałymi, stąd wynika podane równanie macierzowe.