Magiczne przekształcenie liniowe

[musialmi]

Znajdź wzór i macierz (w wybranej przez siebie bazie) odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ P: \RR^2 \rightarrow \RR^2}\), będącego obrotem płaszczyzny wokół początku układu o kąt \(\displaystyle{ 45^{o}}\).
Mój pomysł to baza \(\displaystyle{ 1, 1^{o}}\) i są to współrzędne biegunowe i \(\displaystyle{ P(x)=(r,\alpha + 45^{o})}\).
Macierz odwzorowania jest wymiaru 2x1 i wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \left[ (1,45^{o}) (0,46^{o})\right]}\)
Czy to rozwiązanie ma jakikolwiek sens?

[Lider_M]

Pytanie: czy \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) są wektorami z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)?

[musialmi]

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) pewnie nie jest.
Czy w takim razie to zadanie jest do zrobienia w ludzkim czasie i sposobie?

[Lider_M]

Zadanie bardzo standardowe, wyznacz obrazy przy tym przekształcenia na wektorach bazowych, np. \(\displaystyle{ (1,0),(0,1)}\) i napisz macierz - obrazów nie musisz przeliczać, raczej widać jakie współrzędne mają obrazy przy tym przekształceniu.

[musialmi]

Jeśli się nie mylę, to z rysunku odczytuję, że \(\displaystyle{ L(1,0)=(1,0)+(0,1)=(1,1)}\), natomiast \(\displaystyle{ L(0,1)=-(1,0)+(0,1)=(-1,1)}\), co by nawet miało sens. Macierz to wtedy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right]}\)

Faktycznie wyznaczenie macierzy było łatwe To wyznaczyć wzór to również będzie pestka:
\(\displaystyle{ L(x,y)=L(x(1,0)+y(0,1))=xL(1,0)+yL(0,1)=(x-y,x+y)}\)
Dziękuję ci bardzo. Jeszcze jakbyś mógł potwierdzić, to byłoby świetnie.

[Lider_M]

Narysuj dokładnie te obroty, wektor \(\displaystyle{ (1,0)}\) nie przechodzi na \(\displaystyle{ (1,1)}\)

[musialmi]

Hmmm... Długość tego wektora pozostaje bez zmian - 1. Pewnie trzeba ją potraktować jako przekątną kwadratu? \(\displaystyle{ 1=a \sqrt{2} \Rightarrow a= \frac{\sqrt{2}}{2}}\), więc obraz \(\displaystyle{ (1,0)}\) to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}(1,0)+\frac{\sqrt{2}}{2}(0,1)=\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\). Teraz dobrze?

[Lider_M]

Tak, w porządku.