Diagonalizacja macierzy

[karpiq]

Mam do rozwiązania przykładowe zadanie do zbliżającego się egzaminu i nie mam pojęcia jak je ruszyć:

Zdiagonalizować macierz

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\-1&0&0\\2&0&3\end{array}\right]}\)

doprowadzając odpowiednią formę kwadratową do postaci kanonicznej.

Wiem jak zdiagonalizować macierz obliczając wielomian charakterystyczny, ale mam tutaj użyć innego sposobu, którego nie mogę nigdzie znaleźć.

[musialmi]

Nie mówi ci nic "metoda Lagrange'a" albo "twierdzenie Jacobiego"?

Btw mam pytanie to całej reszty forum: czy diagonalizacji macierzy zawsze można dokonywać przez doprowadzenie formy kwadratowej do postaci kanonicznej? Nawet, jeśli macierz nie jest symetryczna względem głównej przekątnej?

[karpiq]

Nie mówi ci nic "metoda Lagrange'a" albo "twierdzenie Jacobiego"?

Znalazłem na forum coś takiego:
https://www.matematyka.pl/202062.htm

Domyślam się, że to będzie ta odpowiednia forma kwadratowa macierzy A:

\(\displaystyle{ g(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + x_3^2 - 2x_1 x_2 + 4 x_1 x_3}\)

Niestety nie za bardzo rozumiem dalszą część tamtego postu i nie wiem jak to dalej ruszyć.

[musialmi]

Powinno być \(\displaystyle{ 3x_{3}^{2}}\). Tutaj teraz nie ma algorytmu. Musisz próbować za pomocą wzorów skróconego mnożenia doprowadzić to do postaci, w której będą 3 lub mniej kwadratów. Spróbuj zacząć np. od tego, że \(\displaystyle{ x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}=\left( x_{1}-x_{2}\right)^{2}-x_{2}^{2}}\) (dałem to jako przykład rozpoczęcia, bo jest to całkiem wiadome i widać, że można to tutaj wykorzystać. W tym przypadku akurat to nie zadziała. Kombinuj Na zachętę powiem, że rozwiązanie jest na jedną linijkę).

[karpiq]

Spróbowałem z użyciem metody Jacobiego opisanej tu:

(Zadanie 11.6)

Otrzymałem postać kanoniczną:
\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 - x_2^2 + \frac{1}{3}x_3^2}\)

Jest to porawna postać kanoniczna? Jeśli tak, to czy macierz diagonalna ma taką postać?

\(\displaystyle{ D = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&\frac {1}{3}\end{array}\right]}\)

@edit
Chociaż z treści zadania wynika chyba, że mam użyć jednak metody Lagrange'a

[musialmi]

Nie, z polecenia nie wynika metoda Lagrange'a. Mówiąc szczerze, zaproponowałem ją tutaj, bo zdawało mi się, że drugi minor główny macierzy jest zerem, ale to był mój fatalny błąd. A skoro nie jest zerem, to wygodniej skorzystać z Jacobiego. Pierwszy i drugi minor się zgadza, wierzę w to, że umiesz obliczyć wyznacznik macierzy 3x3 i trzeci minor główny też jest dobrze obliczony. Jeśli tak, to macierz ma dokładnie taką postać.

Ponawiam jeszcze moje pytanie, coby nie umknęło w gąszczu innych zdań:

Btw mam pytanie to całej reszty forum: czy diagonalizacji macierzy zawsze można dokonywać przez doprowadzenie formy kwadratowej do postaci kanonicznej? Nawet, jeśli macierz nie jest symetryczna względem głównej przekątnej?

[karpiq]

Dziękuje bardzo za pomoc