Potęgowanie macierzy symetycznej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Potęgowanie macierzy symetycznej

Post autor: Matiks21 »

Witam,

Bardzo potrzebuje dowodu tego że po potęgowaniu macierzy symetrycznej otrzymam macierz symetrzyczną.

Dziękuje z góry
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Potęgowanie macierzy symetycznej

Post autor: yorgin »

Niech \(\displaystyle{ B=A^2}\) oraz \(\displaystyle{ B=[b_{ik}]_{i,k=1,\ldots,n}}\)

\(\displaystyle{ b_{ik}=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}a_{jk}=\sum\limits_{j=1}^n a_{kj}a_{ji}=\ldots}\)

... i koniec.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Potęgowanie macierzy symetycznej

Post autor: Matiks21 »

przepraszam, chodziło mi o dowolne potęgownie \(\displaystyle{ A^{n}}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Potęgowanie macierzy symetycznej

Post autor: yorgin »

No to indukcja. Pierwszy krok zrobiony.

Krok drugi to wykorzystanie własności:

\(\displaystyle{ X, Y}\) - macierze symteryczne \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ XY}\) symetryczna.

Dowód się przepisuje z tego, co zrobiłem w poprzednim poście.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Potęgowanie macierzy symetycznej

Post autor: Matiks21 »

ale ta własnosc nie jest prawdziwa dla dowodnych macierzy symetrycznych
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Potęgowanie macierzy symetycznej

Post autor: yorgin »

Ta - która? Co to są "dowodne" macierze?
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Potęgowanie macierzy symetycznej

Post autor: Lider_M »

yorgin, ta własność, którą napisałeś - \(\displaystyle{ X,Y}\) symetryczne, to \(\displaystyle{ XY}\) też, i jak się czepiasz literówek, to co u Ciebie znaczą macierze symteryczne?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-3\\-3&1\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cc}-1&5\\-2&-4\end{array}\right]}\)


Co do dowodu można skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ (A^n)^T=(\underbrace{AA\ldots A}_{n})^T=\underbrace{A^T\ldots A^TA^T}_{n}=\underbrace{A\ldots AA}_{n}=A^n}\)
Korzystałem tutaj (chociaż może nie widać), że \(\displaystyle{ (AB)^T=B^TA^T}\) oraz z tego, że \(\displaystyle{ A}\) symetryczna.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Potęgowanie macierzy symetycznej

Post autor: yorgin »

Lider_M, to, co u Ciebie.

Moja próba padła a to dlatego, ze de facto opisanym powyżej sposobem mozna co najwyżej pokazać, że \(\displaystyle{ XY=(YX)^T}\), czyli \(\displaystyle{ XY=X^TY^T}\), czyli nic odkrywczego...

Twój dowód jest tak fajny, że aż oczy cieszy
ODPOWIEDZ