Potęgowanie macierzy symetycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Potęgowanie macierzy symetycznej
Witam,
Bardzo potrzebuje dowodu tego że po potęgowaniu macierzy symetrycznej otrzymam macierz symetrzyczną.
Dziękuje z góry
Bardzo potrzebuje dowodu tego że po potęgowaniu macierzy symetrycznej otrzymam macierz symetrzyczną.
Dziękuje z góry
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Potęgowanie macierzy symetycznej
Niech \(\displaystyle{ B=A^2}\) oraz \(\displaystyle{ B=[b_{ik}]_{i,k=1,\ldots,n}}\)
\(\displaystyle{ b_{ik}=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}a_{jk}=\sum\limits_{j=1}^n a_{kj}a_{ji}=\ldots}\)
... i koniec.
\(\displaystyle{ b_{ik}=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}a_{jk}=\sum\limits_{j=1}^n a_{kj}a_{ji}=\ldots}\)
... i koniec.
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Potęgowanie macierzy symetycznej
przepraszam, chodziło mi o dowolne potęgownie \(\displaystyle{ A^{n}}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Potęgowanie macierzy symetycznej
No to indukcja. Pierwszy krok zrobiony.
Krok drugi to wykorzystanie własności:
\(\displaystyle{ X, Y}\) - macierze symteryczne \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ XY}\) symetryczna.
Dowód się przepisuje z tego, co zrobiłem w poprzednim poście.
Krok drugi to wykorzystanie własności:
\(\displaystyle{ X, Y}\) - macierze symteryczne \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ XY}\) symetryczna.
Dowód się przepisuje z tego, co zrobiłem w poprzednim poście.
-
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Potęgowanie macierzy symetycznej
ale ta własnosc nie jest prawdziwa dla dowodnych macierzy symetrycznych
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Potęgowanie macierzy symetycznej
yorgin, ta własność, którą napisałeś - \(\displaystyle{ X,Y}\) symetryczne, to \(\displaystyle{ XY}\) też, i jak się czepiasz literówek, to co u Ciebie znaczą macierze symteryczne?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-3\\-3&1\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cc}-1&5\\-2&-4\end{array}\right]}\)
Co do dowodu można skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ (A^n)^T=(\underbrace{AA\ldots A}_{n})^T=\underbrace{A^T\ldots A^TA^T}_{n}=\underbrace{A\ldots AA}_{n}=A^n}\)
Korzystałem tutaj (chociaż może nie widać), że \(\displaystyle{ (AB)^T=B^TA^T}\) oraz z tego, że \(\displaystyle{ A}\) symetryczna.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-3\\-3&1\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cc}-1&5\\-2&-4\end{array}\right]}\)
Co do dowodu można skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ (A^n)^T=(\underbrace{AA\ldots A}_{n})^T=\underbrace{A^T\ldots A^TA^T}_{n}=\underbrace{A\ldots AA}_{n}=A^n}\)
Korzystałem tutaj (chociaż może nie widać), że \(\displaystyle{ (AB)^T=B^TA^T}\) oraz z tego, że \(\displaystyle{ A}\) symetryczna.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Potęgowanie macierzy symetycznej
Lider_M, to, co u Ciebie.
Moja próba padła a to dlatego, ze de facto opisanym powyżej sposobem mozna co najwyżej pokazać, że \(\displaystyle{ XY=(YX)^T}\), czyli \(\displaystyle{ XY=X^TY^T}\), czyli nic odkrywczego...
Twój dowód jest tak fajny, że aż oczy cieszy
Moja próba padła a to dlatego, ze de facto opisanym powyżej sposobem mozna co najwyżej pokazać, że \(\displaystyle{ XY=(YX)^T}\), czyli \(\displaystyle{ XY=X^TY^T}\), czyli nic odkrywczego...
Twój dowód jest tak fajny, że aż oczy cieszy