Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Post autor: Poszukujaca »

Jak znaleźć sumę takich podprzestrzeni?

\(\displaystyle{ U_{1}=\left\{(x,y,z): z=0\right\} \\ U_{2}=\{(x,y,z): x+y=0, x+z=0\}}\)
Ostatnio zmieniony 24 cze 2014, o 10:51 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: \{ \} - nawiasy klamrowe
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Post autor: yorgin »

\(\displaystyle{ U_1}\) jest dwuwymiarowa. \(\displaystyle{ U_2}\) jednowymiarowa. Suma prosta przestrzeni jedno i dwuwymiarowej jako podprzestrzni przestrzeni trójwymiarowej jest przestrzenią trójwymiarową. Czyli całym \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Post autor: Poszukujaca »

Dlaczego tak jest?

Czy do \(\displaystyle{ U_{1}}\) nie należą wszystkie wektory o współrzędnych \(\displaystyle{ x,y\in R}\) i trzeciej współrzędnej \(\displaystyle{ z=0}\)?
Gdybym tak było, to byłyby to wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) czyli trójwymiarowej..

No chyba, że wynika to z tego, iż jedynymi podprzestrzeniami przestrzeni trójwymiarowej może być całe \(\displaystyle{ R^{3},R^{2}}\) i punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Post autor: yorgin »

Poszukujaca pisze:Dlaczego tak jest?
Dlatego, ze w sumie prostej przestrzeni wymiary się dodaje. \(\displaystyle{ 1+2=3}\) i więcej się nie zmieści w \(\displaystyle{ \RR^3}\) - podprzestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 3}\) musi być całym \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Poszukujaca pisze: Czy do \(\displaystyle{ U_{1}}\) nie należą wszystkie wektory o współrzędnych \(\displaystyle{ x,y\in R}\) i trzeciej współrzędnej \(\displaystyle{ z=0}\)?
Tak.
Poszukujaca pisze: Gdybym tak było, to byłyby to wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) czyli trójwymiarowej..
I co w tym dziwnego?
Poszukujaca pisze: No chyba, że wynika to z tego, iż jedynymi podprzestrzeniami przestrzeni trójwymiarowej może być całe \(\displaystyle{ R^{3},R^{2}}\) i punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Nie wynika i podprzestrzeni w \(\displaystyle{ \RR^3}\) jest znacznie więcej.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Post autor: Poszukujaca »

Już coś mi zaczyna świtać.

\(\displaystyle{ U_{1}}\) jest pewną płaszczyzną w trójwymiarze.

\(\displaystyle{ U_{2}}\) jest prostą.

Podprzestrzeniami LINIOWYMI \(\displaystyle{ R^{3}}\) mogą być:
- całe \(\displaystyle{ R^{3}}\)
- nieskończenie wiele płaszczyzn zawierających punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\)
- nieskończenie wiele prostych zawierających punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\)
- punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\)

Czy dobrze myślę?-- 24 cze 2014, o 10:26 --A jak znaleźć sumę podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ U_{1}=lin\{(1,1)\} \\ U_{2}=lin\{(1,-1)\}}\)

Czy będzie to:
\(\displaystyle{ U=lin\{(1,1),(1,-1)\}}\)
?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Post autor: yorgin »

Poszukujaca pisze: Podprzestrzeniami LINIOWYMI \(\displaystyle{ R^{3}}\) mogą być:
- całe \(\displaystyle{ R^{3}}\)
- nieskończenie wiele płaszczyzn zawierających punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\)
- nieskończenie wiele prostych zawierających punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\)
- punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\)
Raczej \(\displaystyle{ (0,0,0)}\).

Poszukujaca pisze: A jak znaleźć sumę podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ U_{1}=lin\{(1,1)\} \\ U_{2}=lin\{(1,-1)\}}\)

Czy będzie to:
\(\displaystyle{ U=lin\{(1,1),(1,-1)\}}\)
?
W tym przypadku tak.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Post autor: Poszukujaca »

yorgin pisze: Raczej \(\displaystyle{ (0,0,0)}\).
A pozostałe podprzestrzenie się zgadzają?
yourgin pisze:
Poszukujaca pisze: A jak znaleźć sumę podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ U_{1}=lin\{(1,1)\} \\ U_{2}=lin\{(1,-1)\}}\)

Czy będzie to:
\(\displaystyle{ U=lin\{(1,1),(1,-1)\}}\)
?
W tym przypadku tak.

A w innym może tak nie być? Czy te wektory muszą być liniowo niezależne?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Znaleźć sumę prostą podprzestrzeni liniowych

Post autor: yorgin »

Poszukujaca pisze: A pozostałe podprzestrzenie się zgadzają?
Tak.
Poszukujaca pisze: A w innym może tak nie być? Czy te wektory muszą być liniowo niezależne?
Tak. Powinny być liniowo niezależne. W przeciwnym wypadku dla sumy algebraicznej, gdy wektory są zależne, należy wybrać tylko te liniowo niezależne.
ODPOWIEDZ