Witam. Mam problem z takim zadaniem :
Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ F:R_1[X] \rightarrow R_7[X]}\) przeprowadza wektor \(\displaystyle{ v_1=2X+3}\) na wektor \(\displaystyle{ w_1=4X^2-X-2}\), a wektor \(\displaystyle{ v_2=4X-5}\) na wektor \(\displaystyle{ w_2=2X^7+X}\). Znaleźć obraz wektora \(\displaystyle{ p=X+7}\). Znaleźć \(\displaystyle{ ker(F), im(F)}\). Podać macierz \(\displaystyle{ F}\) w dowolnych bazach.
Nie wiem jak mam się za nie zabrać. Z góry dziękuję za pomoc.
Odwzorowanie liniowe
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Odwzorowanie liniowe
Zacznij od utożsamienia (izomorficznego) przestrzeni wielomianów \(\displaystyle{ R_k[x]}\) z przestrzenią \(\displaystyle{ \RR^{k+1}}\) współczynników. Pamiętaj tylko, by przed podaniem końcowej odpowiedzi powrócić od punktów przestrzeni do wielomianów.
Trochę Ci pomogę na początek...
\(\displaystyle{ F(2,3)=(0,0,0,0,0,4,-1,-2), F(4,-5)=(2,0,0,0,0,0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ (1,0)=a(2,3)+b(4,-5)\iff\begin{cases}2a+4b=1\\3a-5b=0\end{cases}\iff\begin{cases}2a+4b=1\\b=\frac{3}{5}a\end{cases}\iff\begin{cases}a=\frac{5}{22}\\b=\frac{3}{22}\end{cases}}\)
Zatem \(\displaystyle{ F(1,0)=\frac{5}{22}F(2,3)+\frac{3}{22}F(4,-5)=\left(\frac{3}{11},0,0,0,0,\frac{10}{11},-\frac{1}{11},-\frac{5}{11}\right)}\)
Podobnie mamy
\(\displaystyle{ (0,1)=c(2,3)+d(4,-5)\iff\begin{cases}2c+4d=0\\3c-5d=1\end{cases}\iff\begin{cases}c=-2d\\d=-\frac{1}{11}\end{cases}\iff\begin{cases}c=\frac{2}{11}\\d=-\frac{1}{11}\end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ F(0,1)=\frac{2}{11}F(2,3)-\frac{1}{11}F(4,-5)=\left(-\frac{2}{11},0,0,0,0,\frac{8}{11},-\frac{1}{11},-\frac{4}{11}\right)}\)
Wreszcie \(\displaystyle{ F(p)=F(1,7)=F(1,0)+7F(0,1)=\left(-1,0,0,0,0,-\frac{46}{11},\frac{6}{11},\frac{23}{11}\right)}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ F(p)}\) można było znaleźć już wcześniej, bez wyznaczania \(\displaystyle{ F(1,0), F(0,1)}\), jednak te dwa wektory posłużą do wyznaczenia wzoru przekształcenia i jego macierzy w bazach standardowych.
Trochę Ci pomogę na początek...
\(\displaystyle{ F(2,3)=(0,0,0,0,0,4,-1,-2), F(4,-5)=(2,0,0,0,0,0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ (1,0)=a(2,3)+b(4,-5)\iff\begin{cases}2a+4b=1\\3a-5b=0\end{cases}\iff\begin{cases}2a+4b=1\\b=\frac{3}{5}a\end{cases}\iff\begin{cases}a=\frac{5}{22}\\b=\frac{3}{22}\end{cases}}\)
Zatem \(\displaystyle{ F(1,0)=\frac{5}{22}F(2,3)+\frac{3}{22}F(4,-5)=\left(\frac{3}{11},0,0,0,0,\frac{10}{11},-\frac{1}{11},-\frac{5}{11}\right)}\)
Podobnie mamy
\(\displaystyle{ (0,1)=c(2,3)+d(4,-5)\iff\begin{cases}2c+4d=0\\3c-5d=1\end{cases}\iff\begin{cases}c=-2d\\d=-\frac{1}{11}\end{cases}\iff\begin{cases}c=\frac{2}{11}\\d=-\frac{1}{11}\end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ F(0,1)=\frac{2}{11}F(2,3)-\frac{1}{11}F(4,-5)=\left(-\frac{2}{11},0,0,0,0,\frac{8}{11},-\frac{1}{11},-\frac{4}{11}\right)}\)
Wreszcie \(\displaystyle{ F(p)=F(1,7)=F(1,0)+7F(0,1)=\left(-1,0,0,0,0,-\frac{46}{11},\frac{6}{11},\frac{23}{11}\right)}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ F(p)}\) można było znaleźć już wcześniej, bez wyznaczania \(\displaystyle{ F(1,0), F(0,1)}\), jednak te dwa wektory posłużą do wyznaczenia wzoru przekształcenia i jego macierzy w bazach standardowych.