Polecenie:
W przestrzeni \(\displaystyle{ R _{2} [x]}\) wielomianów z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ <f,g> = \int_0^1 f(x) \cdot g(x) \,dx}\) znajdź bazę ortonormalną metodą ortogonalizacji G-S zastosowaną do bazy standardowej \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\). Znajdź też rozkład wielomianu \(\displaystyle{ x}\) na część równoległą i prostopadłą do wielomianu \(\displaystyle{ x^2}\)
Utożsamiam sobie kolejno wielomiany z bazą w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ 1 := \left ( \begin{array}{ccc} 1\\ 0 \\ 0 \end{array} \right)}\) \(\displaystyle{ ,\\}\) \(\displaystyle{ x := \left ( \begin{array}{ccc} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right)}\) \(\displaystyle{ ,\\}\) \(\displaystyle{ x^2 := \left ( \begin{array}{ccc} 0\\ 0 \\ 1 \end{array} \right)}\)
Baza ortonormalna jaka mi wyszła metodą ortogonalizacji G-S to: \(\displaystyle{ 1, 2\sqrt{3}x - \sqrt{3}, 6\sqrt{5}x^{2} - 6\sqrt{5}x + \sqrt{5}}\)
Odpowiadające jej wektory w bazie standardowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) to \(\displaystyle{ \left ( \begin{array}{ccc} 1\\ 0 \\ 0 \end{array} \right)}\) \(\displaystyle{ ,\\}\) \(\displaystyle{ \left ( \begin{array}{ccc} -\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3} \\ 0 \end{array} \right)}\) \(\displaystyle{ ,\\}\) \(\displaystyle{ \left ( \begin{array}{ccc} \sqrt{5}\\ -\sqrt{5} \\ 6\sqrt{5} \end{array} \right)}\)
Przyznam, że się już trochę teraz gubię. Chciałbym znaleźć izomorfizm między tymi przestrzeniami tak, żebym mógł liczyć iloczyn skalarny w przestrzeni wielomianów tak jak się liczy w bazie zero-jedynkowej, bo tak jest wygodniej. Powiedzmy że chciałbym znaleźć iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ 2\cdot1 ,\ x}\), jak to zrobić przy użyciu tych baz które wyznaczyłem?