Macierz przeksztalcenia liniowego

[Szalony_Ryszard]

Mam takie zadanie:

Znalesc z def. macierz przeksztalcenia liniowego w podanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych:

\(\displaystyle{ L:R^{3} R^{2} L(x,y,z,t)=(x+y, z+t),}\)
\(\displaystyle{ \vec{u}_{1}=(1,0,0,0), \vec{u}_{2}=(1,2,0,0), \vec{u}_{3}=(1,2,3,0), \vec{u}_{4}=(1,2,3,4)}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}_{1}=(1,0), \vec{v}_{2}=(1,2)}\)


i jak sie domyslacie nie wiem jak to zrobic . Prosze o pomoc

[Lukasz_C747]

Niech \(\displaystyle{ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2}}\) wektory standardowe \(\displaystyle{ R^{2}}\). Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \vec{e}_{1} = \vec{v}_{1}\\
\vec{e}_{2} = -\frac{1}{2} \vec{v}_{1} + \frac{1}{2} \vec{v}_{2}\\
L(\vec{u}_{1}) = L(1,0,0,0) = (1,0) = \vec{e}_{1} = \vec{v}_{1}\\
L(\vec{u}_{2}) = L(1,2,0,0) = (3,0) = 3\vec{e}_{1} = 3\vec{v}_{1}\\
L(\vec{u}_{3}) = L(1,2,3,0) = (3,3) = 3\vec{e}_{1} + 3\vec{e}_{2} = 3\vec{v}_{1} - \frac{3}{2} \vec{v}_{1} + \frac{3}{2} \vec{v}_{2} = \frac{3}{2} \vec{v}_{1} + \frac{3}{2} \vec{v}_{2}\\
L(\vec{u}_{4}) = L(1,2,3,4) = (3,7) = 3\vec{e}_{1} + 7\vec{e}_{2} = 3\vec{v}_{1} - \frac{7}{2} \vec{v}_{1} + \frac{7}{2} \vec{v}_{2} = -\frac{1}{2} \vec{v}_{1} + \frac{7}{2} \vec{v}_{2}}\)

Stąd macierz przekształcenia:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&3&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\0&0&\frac{3}{2}&\frac{7}{2}\end{array}\right]}\)