Treść zadania: Dla macierzy symetrycznej A znaleźć taką macierz ortogonalną O i macierz diagonalną D, by \(\displaystyle{ D=O ^{T} A O}\), gdzie
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}7&-2&2\\-2&7&2\\2&2&7\end{array}\right]}\).
Zaczynam od obliczenia \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} A-\lambda I \end{vmatrix}}\). Otrzymuję \(\displaystyle{ (9-\lambda)(\lambda-9)(\lambda-3)}\), zatem wartości własne to 9 (podwójna) i 3.
Czy na tym etapie tworzę już macierz diagonalną, wpisują te wartości na głównej przekątnej, tj. \(\displaystyle{ D = \left[\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&9&0\\0&0&3\end{array}\right]}\)?
Potem biorę wartości własne i wstawiam do macierzy zamiast lambdy, co utworzy mi wektory własne. I czy dla wartości 9 będą to \(\displaystyle{ v _{1}=(1,0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ v _{2}=(0,1,1)}\)? Czy może któryś z nich będzie wyglądał tak \(\displaystyle{ v=(1,1,2)}\)? W tym momencie właśnie się gubię, próbowałam się kierować podobnym zadaniem przerabianym na ćwiczeniach, ale tam też w tym momencie przestaję ogarniać które wektory trzeba wybrać.
Wiem, że gdy już je będę miała to stosuję ortogonalizację Grama-Schmidta, potem normalizuję.
Następnie biorę wartość własną 3, obliczyłam, że wektor to \(\displaystyle{ v _{3}=(-1,-1,1)}\), potem też go normalizuję (będzie trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3}}}\) .
I w ten sposób powstałe wektory wpisuję kolumnowo, co utworzy mi macierz ortogonalną?
