Przekształcenie liniowe(wielomiany)

[Arytmetyk]

1.

\(\displaystyle{ L: R _{2} [x] \rightarrow R _{1} [x]}\)

\(\displaystyle{ (Lp)(x)=(3-x)p''(x)+4p'(x)}\)

skąd się bierze(wartości w bazie standardowej):

\(\displaystyle{ L(1)=0}\)
\(\displaystyle{ L(x)=4}\)
\(\displaystyle{ L(x^2)=6+6x}\)

domyślam się, że \(\displaystyle{ p(x)=ax^2+bx+c}\) ale z rachunków nie wychodzi mi to co powyżej

2.
Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L:R^4 \rightarrow R[x]}\)
\(\displaystyle{ L(a,b,c,d)=2a+b+d+(a+c)x^4}\)

jak znaleźć jądro i obraz tego przekształcenia?

[yorgin]

domyślam się, że \(\displaystyle{ p(x)=ax^2+bx+c}\) ale z rachunków nie wychodzi mi to co powyżej

Wychodzi. Zapewne więc obliczenia przeprowadzasz niepoprawnie. Przedstaw je.

jak znaleźć jądro i obraz tego przekształcenia?

Z definicji jądra i obrazu. Łatwo widać na przykład, że obrazem są wielomiany postaci \(\displaystyle{ p+qx^4}\). Można też wykorzystać izomorfizm \(\displaystyle{ \RR_4[X]}\) z \(\displaystyle{ \RR^5}\) ale... wystarczy definicja.