Pokazać że macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\) jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a+d=0}\) oraz \(\displaystyle{ bc-ad=0}\)
proszę o pomoc
Jak sprawdzić czy takie przekształcenie jest nilpotentne:
\(\displaystyle{ L(f)=(x^2+2x+3)f ^{(3)} (x)}\)
Macierz nilpotentna
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Macierz nilpotentna
1. Oznaczam \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\).
Jeżeli spełnione są podane zależności, to łatwo sprawdzić, że kwadrat macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest zerowy.
Z drugiej strony, jeżeli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest nilpotentna, to dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ A^n=0}\). W szczególności wartości własne tej macierzy są zerowe, a co za tym idzie wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są zerowe. Ponieważ wielomian charakterysytyczny macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ \lambda^2-\lambda(a+d)+(ad-bc)}\) i ma wyłącznie zerowe pierwiastki, stąd dostajemy zależności na współczynniki macierzy.
2. Czym jest \(\displaystyle{ f}\)?
Jeżeli spełnione są podane zależności, to łatwo sprawdzić, że kwadrat macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest zerowy.
Z drugiej strony, jeżeli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest nilpotentna, to dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ A^n=0}\). W szczególności wartości własne tej macierzy są zerowe, a co za tym idzie wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są zerowe. Ponieważ wielomian charakterysytyczny macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ \lambda^2-\lambda(a+d)+(ad-bc)}\) i ma wyłącznie zerowe pierwiastki, stąd dostajemy zależności na współczynniki macierzy.
2. Czym jest \(\displaystyle{ f}\)?