Wartość odwzorowania liniowego z potęgą

[Poszukujaca]

Pewne odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: R^{2} \rightarrow R^{2}}\) spełnia warunki:
\(\displaystyle{ f(-1,2)=(3,-6)}\) i \(\displaystyle{ f(1,1)=(2,2)}\).
Oblicz \(\displaystyle{ f^{50}(v)}\) dla \(\displaystyle{ v=(3,1)}\) oraz \(\displaystyle{ v=(0,3)}\).

[Lider_M]

Jeżeli uda Ci się przedstawić macierz tego odwzorowania w bazach standardowych \(\displaystyle{ M}\) w postaci \(\displaystyle{ NDN^{-1}}\), to wtedy \(\displaystyle{ M^{n}}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ ND^{n}N^{-1}}\) (udowodnij to).
\(\displaystyle{ D}\) najlepiej jakby była macierzą diagonalną.

[Poszukujaca]

A czy mogę wnioskować po danych w zadaniu, że \(\displaystyle{ v_{1}=(-1,2)}\) i \(\displaystyle{ v_{2}=(1,1)}\) są wektoramiw własnymi tego odwzorowania?

[Arytmetyk]

Tak, macierz przekształcenia w bazie złożonej z wektorów własnych jest diagonalna i na głównej przekątnej występują wartości własne

[Poszukujaca]

Rozumiem, co oznacza, że macierz jest diagonalna, ale..

Dlaczego te wektory są wektorami własnymi? Po czym to rozpoznać? Czy dlatego, że macierz z nich utworzona jest diagonalizowalna?

Znalazłam przykład rozwiązanego podobnego zadania i nie wiem, dlaczego można wnioskować, że wektory te są własne.

[Lider_M]

Wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) nazywamy taki wektor \(\displaystyle{ v\neq 0}\) dla którego istnieje taka liczba \(\displaystyle{ \lambda}\), że zachodzi \(\displaystyle{ Av=\lambda v}\).

[Poszukujaca]

Czy mając te podane warunki z treści zadania nie mogę od razu powiedzieć, że wektory te są własne? Tylko najpierw muszę sprawdzić, czy \(\displaystyle{ Av=\lambda v}\) - czyli czy istnieją dla tych wektorów wartości własne?

[Lider_M]

Możesz, jeżeli udowodnisz, że istnieje taka \(\displaystyle{ \lambda}\), a to chyba widać z warunków w treści zadania, np \(\displaystyle{ f(1,1)=2\cdot(1,1)}\) to \(\displaystyle{ \lambda=2}\).