baza ortogonalna

[waliant]

Mam znaleźć bazę ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_{2}\left[ x\right]}\).

Bazą standardową jest \(\displaystyle{ lin\left\{ 1,x,x^{2}\right\}}\). Czyli mam dokonać ortogonalizacji tej bazy? Tylko pytanie z jakim iloczynem skalarnym? Nie został on podany w zadaniu.

[janusz47]

Iloczyn skalarny w przestrzeni wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \leq 2}\)
\(\displaystyle{ (w_{1}|w_{2})=\int_{0}^{1}w_{1}(t)\cdot w_{2}(t)dt.}\)

[waliant]

czyli mam po prostu dokonać ortogonalizacji bazy, którą podałem z iloczynem skalarnym, który podałeś?

[musialmi]

No tak. Niepodanie iloczynu skalarnego jest dziwne i wypowiedź Janusza wynika pewnie z popularności tego iloczynu skalarnego, nie wiem, mam za małe doświadczenie.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \left[ u_{1},u_{2},u_{3}\right]=\left[ 1, x, x^{2}\right].}\)

Ortogonalizacja Gramma-Schmidta
\(\displaystyle{ v_{1}=u_{1},}\)
\(\displaystyle{ v_{2}=u_{2}- \frac{(u_{2}|v_{1})}{|u_{1}|^{2}}v_{1},}\)
\(\displaystyle{ v_{3}=u_{3}-\frac{(u_{3}|v_{1})}{|v_{1}|^{2}}v_{1}- \frac{(u_{3}|v_{2})}{|v_{2}|^{2}}v_{2}.}\)

[Arytmetyk]

baza którą podałeś jest już ortogonalna z iloczynem skalarnym:
\(\displaystyle{ \left\langle x,y \right\rangle = \sum_{}^{} x _{i} y _{i}}\)

[waliant]

baza którą podałeś jest już ortogonalna z iloczynem skalarnym:
\(\displaystyle{ \left\langle x,y \right\rangle = \sum_{}^{} x _{i} y _{i}}\)

W sensie baza \(\displaystyle{ lin\left\{ 1,x,x^{2}\right\}}\) ? Nie wydaje mi się.

[janusz47]

\(\displaystyle{ v_{1}= u_{1}=1,}\)
\(\displaystyle{ v_{2}= x -\frac{\int_{0}^{1}x\cdot1dx}{\int_{0}^{1}1\cdot 1dx}\cdot 1=...}\)
\(\displaystyle{ v_{3}= x^{2}-\frac{\int_{0}^{1}x^{2} \cdot1 dx}{\int_{0}^{1}1\cdot 1dx}\cdot 1-\frac{\int_{0}^{1}x^{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)dx}{\int_{0}^{1}\left(x -\frac{1}{2}\right)\cdot \left(x -\frac{1}{2}\right)dx}\cdot \left(x-\frac{1}{2}\right)=...}\)