postać kanoniczna formy kwadratowej

[waliant]

Mam przedstawić taką formę kwadratową w postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ f(x)=x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+5x_{2}^{2}-4x_{1}x_{3}-12x_{2}x_{3}+4x_{3}^{2}-4x_{2}x_{4}-8x_{3}x_{4}-x_{4}^{2}}\)

Nie mogę skorzystać z twierdzenia Jacobiego, gdyż trzeci wyznacznik się zeruje. Trzeba zatem skorzystać z twierdzenia Lagrange'a, lecz jest ono dla mnie kłopotliwe, czy ktoś pomoże jak zacząć żeby się później nie pogubić? Czy jest jakiś sposób, który to ułatwia ?

[janusz47]

1) Tworzymy symetryczną macierz formy kwadratowej.
2) Obliczamy jej wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{i}, i=1,2,3,4}\)
3)Znajdujemy wektory własne odpowiadające obliczonym wartościom własnym.
4)Tworzymy macierz \(\displaystyle{ P}\) złożoną z kolumn wektorów własnych.
5)Podstawienie \(\displaystyle{ x= Py}\) eliminuje składniki mieszane formy.
6) Zapisujemy formę w postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ \left[y_{1},y_{2},y_{3},y_{4} \right] \left[\begin{array}{cccc}\lambda_1}&0&0&0\\0&\lambda_{2}&0&0\\0&0&\lambda_{3}&0\\0&0&0&\lambda_{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\end{array}\right]}\)

[waliant]

Wydaje mi się, że dosyć ciężko jest obliczyć wyznacznik takiej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1-\lambda}&3&-2&0\\3&5-\lambda&-6&-2\\-2&-6&4-\lambda&-4\\0&-2&-4&-1-\lambda\end{array}\right]}\)

-- 17 cze 2014, o 12:06 --

czyli chyba wskazana jest tutaj metoda Lagrange'a

[janusz47]

Rozwijamy na przykład wg pierwszego wiersza lub pierwszej kolummny
\(\displaystyle{ (1-\lambda)\left| \begin{array}{ccc}5-\lambda &-6&-2\\-6&4-\lambda&-4\\-2&-4&-1-\lambda\end{array}\right|-3\left| \begin{array}{ccc}3 &-6&-2\\-2&4-\lambda&-4\\0&-4&-1-\lambda\end{array}\right|-2\left| \begin{array}{ccc}3 &5-\lambda&-2\\-2&-6&-4\\0&-2&-1-\lambda\end{array}\right|.}\)
Wyznaczniki trzeciego stopnia najłatwiej obliczymy metodą eliminacji tworząc zero w w wierszu lub kolumnie.

[waliant]

No dobrze, nie twierdze, że się nie da, ale wychodzą niecałkowite wartości własne

}}

[musialmi]

O kurczę, miałem to na kołokwium w piątek
Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right)^{2}}\), gdzie (jeśli dobrze pamiętam) \(\displaystyle{ a=x_{1}, b=x_{2}, c=2x_{3}}\), a z resztą trzeba sobie poradzić "jakoś".

[janusz47]

Wartości własne nie muszą być całkowite.
Macierzy rzeczywistych - symetrycznych są rzeczywiste.
To są współczynniki przy składnikach drugich potęg postaci kanonicznej formy kwadratowej.

[waliant]

Wartości własne nie muszą być całkowite.
Macierzy rzeczywistych - symetrycznych są rzeczywiste.
To są współczynniki przy składnikach drugich potęg postaci kanonicznej formy kwadratowej.

Nie wiem czy dobrze rozumiem, ale wystarczy policzyć te wartości własne i możemy zapisywać formę w postaci kanonicznej \(\displaystyle{ f(x)=\lambda_{1}x_{1}^{2}+\lambda_{2}x_{2}^{2}+\lambda_{3}x_{3}^{2}+\lambda_{4}x_{4}^{2}}\) ? gdzie \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\) to wartości własne.

[janusz47]

Tak, dobrze.