Sprawdzić odwracalność odwzorowania

[Poszukujaca]

Jak sprawdzić, czy takie odwzorowanie jest odwracalne?

\(\displaystyle{ f:M_{2 \times 2} \rightarrow M_{2 \times 2}

f\left(\left[\begin{array}{cc}a&b \\ c&d \end{array}\right]\right) = \left(\left[\begin{array}{cc} a+b&a-c-d \\ a+b+c&b+2c+d \end{array}\right]\right)}\)

[Lider_M]

Sprawdź, czy to izomorfizm, w tym wypadku wystarczy, gdy jądro będzie zerowe.

[Poszukujaca]

A dlaczego akurat izomorfizm i jądro zerowe? Nie rozumiem.

Czy mogę napisać macierz tego odwzorowania i sprawdzić czy jej wyznacznik jest różny od zera?
Właśnie tylko jak napisać taką macierz, skoro nie mam podanych baz...

[yorgin]

A dlaczego akurat izomorfizm i jądro zerowe? Nie rozumiem.

W przestrzeniach skończenie wymiarowych \(\displaystyle{ X}\) oraz odwzorowaniach liniowych z \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ X}\) bycie izomorfizmem jest równoważne z byciem monomorfizmem.

Czy mogę napisać macierz tego odwzorowania i sprawdzić czy jej wyznacznik jest różny od zera?

Tak.

Właśnie tylko jak napisać taką macierz, skoro nie mam podanych baz...

I? Czy wyznacznik zależy od bazy? Czy zerowanie się wyznacznika zależy od wyboru bazy?

[Poszukujaca]

W przestrzeniach skończenie wymiarowych \(\displaystyle{ X}\) oraz odwzorowaniach liniowych z \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ X}\) bycie izomorfizmem jest równoważne z byciem monomorfizmem.

Rozumiem. Monomorfizm jest odwzorowaniem różnowartościowym, więc izomorfizm musi być monomorfizmem.
Ale dlaczego jądro musi być zerowe?

I? Czy wyznacznik zależy od bazy? Czy zerowanie się wyznacznika zależy od wyboru bazy?

Nie, wydaje mi się, że nie zależy. Myślę, że macierz tego odwzorowania można zxapisać w różny sposób w zalezności od wyboru baz. Czy zatem moge sobie wybrac dwie dowolone bazy i zapisać macierz odwzorowania? Najłatwiej chyba będzie z bazą kakoniczną.

[yorgin]

Rozumiem. Monomorfizm jest odwzorowaniem różnowartościowym, więc izomorfizm musi być monomorfizmem.
Ale dlaczego jądro musi być zerowe?

Przypomnij sobie definijcę monomorfizmu.

Czy zatem moge sobie wybrac dwie dowolone bazy i zapisać macierz odwzorowania? Najłatwiej chyba będzie z bazą kakoniczną.

Tak, najłatwiej.