Wykazać, że f jest izomorfizmem

[Poszukujaca]

Jak wykazać, że coś takiego jest izomorfizmem?

Wykazać, że \(\displaystyle{ f: E \ni \left[\begin{array}{cc} a&b \\ -b&a \end{array}\right] \rightarrow a+ib \in C}\) jest izomorfizmem przestrzeni \(\displaystyle{ (E,R,\oplus,\odot)}\) i \(\displaystyle{ (C,R,+, \cdot )}\).

Wiem, że trzeba najpierw trzeba sprawdzić czy \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem liniowym. W tym celu sprawdzamy dwa warunki z definicji odwzorowania liniowego: addytywnmość i jednorodność. Ale jakie warunki musze jeszcze sprawdzić, aby pokazać, że jest ono izomorfizmem? Skoro izomorfizm jest bijekcją?

[Kmitah]

By pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest izomorfizmem pierścieni, musisz pokazać, że zachodzi:
\(\displaystyle{ f(A+B) = f(A)+f(B)}\)
\(\displaystyle{ f(AB) = f(AB)}\)
\(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\)
oraz że jest różnowartościowe i "na".

[Poszukujaca]

A skąd wynikają te warunki?

Szukam jakiejś dobrej definicji..

Czy mogę zapisać tak warunki na surjektywnośc i injektywność?
1) \(\displaystyle{ \forall_{A,B\inE} A \neq B \Rightarrow f(A) \neq f(B)}\)
2) \(\displaystyle{ \forall_{A\inE} \exists_{a+bi \in C} f(A)=a+bi}\)

[Kmitah]

Podane przeze mnie warunki:
\(\displaystyle{ f(A+B) = f(A)+f(B)}\)
\(\displaystyle{ f(AB) = f(AB)}\)
\(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\)
to po prostu definicja homomorfizmu. Izomorfizm zaś to homomorfizm, który jest różnowartościowy i "na".

Warunek 1) podany przez Ciebie to warunek na różnowartościowość funkcji \(\displaystyle{ f}\). Jest on podany poprawnie. Jeżeli zaś idzie o warunek 2), to nie jest to warunek bycia przez \(\displaystyle{ f}\) funkcją "na". By był, musiałoby to wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \forall_{a+bi \in \mathbb{C}} \exists_{A \in E} f(A)=a+bi,}\)
to bowiem, że dla każdego \(\displaystyle{ A}\) jesteśmy wyliczyć w stanie \(\displaystyle{ f(A)}\) wynika wprost z określenia funkcji. Bycie "na" oznacza, że dla każdego elementu \(\displaystyle{ y}\) z przeciwdziedziny istnieje element \(\displaystyle{ x}\), taki że \(\displaystyle{ f(x)=y}\).

[Poszukujaca]

Czyli muszę w sumie sprawdzić 5 powyższych warunków?

Czy w takim wypadku uprzednie sprawdzenie warunków z definicji odwzorowania liniowego jest konieczne?-- 16 cze 2014, o 00:15 --I jeszcze nie rozumiem jaki sens jest w warunku:
\(\displaystyle{ f(AB)=f(AB)}\)...

[Kmitah]

Tak, musisz sprawdzić te pięć warunków.

Mój błąd. Zamiast \(\displaystyle{ f(AB)=f(AB)}\) miało być \(\displaystyle{ f(AB)=f(A)f(B)}\), przepraszam.

[Poszukujaca]

Czy uprzednie sprawdzenie warunków z definicji odwzorowania liniowego poza tymi pięcioma warunkami jest konieczne?

[Kmitah]

Jeżeli wystarczy Ci pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest izomorfizmem, to nie, nie jest konieczne.

[Poszukujaca]

Jak mogę sprawdzić warunek \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\)?

[Kmitah]

W warunku \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\) nie chodzi o liczby \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\), ale elementy neutralne dodawania i mnożenia w pierścieniach. W Twoim przypadku jedynką w dziedzinie jest macierz:
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right]}\),
zaś zerem w przeciwdziedzinie jest "zwykłe" liczbowe \(\displaystyle{ 0}\), które możemy zapisać jako \(\displaystyle{ 0+0i}\).
Wprost z określenia funkcji \(\displaystyle{ f}\) mamy:
\(\displaystyle{ f\left(\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right] \right) = 1 +0i = 1 \neq 0.}\)

W warunku \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\) chodzi o to, by funkcja nie przeprowadzała wszystkiego na zero, bo taka funkcja też spełniałaby warunki \(\displaystyle{ f(A+B)=f(A)+f(B)}\) i \(\displaystyle{ f(AB)=f(A)f(B)}\), lecz z oczywistych względów jest mało interesująca.