Baza i generowanie przestrzeni liniowej

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 13 cze 2014, o 14:47

Czy generatory przestrzeni liniowej są zawsze jednocześnie jej bazą?

i na odwrót... Czy baza danej przestrzeni liniowej zawsze stanowi układ generatorów ją generujących?

Proszę o pomoc w roztrzygnięciu tej kwestii.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 13 cze 2014, o 15:22

Baza to najmniejszy możliwy zbiór generatorów do rozpięcia przestrzeni!
Pierwsze: nie.
Drugie: tak.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 13 cze 2014, o 15:42

Czyli drugie wynika z definicji bazy.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 13 cze 2014, o 15:48

No tak, z definicji bazy i generatora. A pierwsze działa wtedy, gdy zbiór tych generatorów jest liniowo niezależny, nie zawiera wektora zerowego oraz liczba tych generatorów jest równa wymiarowi (czyli po prostu nie jest ich za mało).

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 cze 2014, o 16:08

Taki mocny przykład do pierwszego pytania:

Zbiór wszystkich wektorów niezerowych w \(\displaystyle{ \RR^3}\) jest zbiorem generatorów przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\).