Kołokwium o iloczynie skalarnym i nilpotentności

[musialmi]

Piszę właśnie kołokwium i proszę o sprawdzenie tychże:

Polecenie: W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_{2}\left[ x\right]}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} u\left( x\right) v\left( x\right) dx}\) obliczyć kąt między podprzestrzenią \(\displaystyle{ W=lin\left\{ 1,x^{2}\right\}}\) a wektorem \(\displaystyle{ w\left( x\right) =x}\).

Odpowiedź: Przede wszystkim nurtuje mnie to, że rzutem \(\displaystyle{ w\left( x\right)}\) na \(\displaystyle{ W}\) okazał się być wektor zerowy (wg moich obliczeń). Czy to jest prawda? Domyślam się, że jeśli tak, to widać to na pierwszy rzut oka.



Drugie polecenie: Macierze A i B są macierzami nilpotentnymi o stopniu nilpotentności \(\displaystyle{ k>1}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ AB=BA}\), to macierz \(\displaystyle{ A+B}\) też jest nilpotentna, o stopniu nilpotentności \(\displaystyle{ 2k}\).

Odpowiedź: \(\displaystyle{ AB=BA}\) na przykład wtedy, gdy \(\displaystyle{ A=B}\). Wtedy \(\displaystyle{ A+B=2A}\), a macierz 2A jest nilpotentna o stopniu takim samym jak A, czyli k. Czy jest to nieprawda? Wydaje mi się, że przemnożenie przez liczbę niczego nie zmienia w stopniu nilpotentności.

PS Spokojnie, żartuję, nie piszę tego kołokwium teraz, tylko 2 godziny temu.

[yorgin]

Żart kiepski...

W zadaniu pierwszym wektor \(\displaystyle{ x}\) jest prostopadły do każdego z wektorów z \(\displaystyle{ W}\), więc generuje jądro projekcji na przestrzeń \(\displaystyle{ W}\). I nie, ja tego na pierwszy rzut oka nie widziałem.

Zadanie drugie - Na przykład \(\displaystyle{ A\neq B}\) i co wtedy? A zadanie jest bardzo proste, wystarczy rozpisać z dwumianu Newtona \(\displaystyle{ (A+B)^{2k}}\) (można, bo macierze są przemienne ze sobą).

[musialmi]

Jądro projekcji? Czyżby projekcja to kolejne określenie na odwzorowanie? A dwumian Newtona to faktycznie dobry pomysł. Trochę się uczuliłem na zostawianie tezy na sam koniec, a rozpoczęcie od założeń, co niedobrze :/
Dziękuję.

Żart kiepski...

Ja tam się uśmiałem po pachy.

[yorgin]

Projekcja to rzutowanie. Taka głupia kalka z angielskiego...