układ równań

[matematyka464]

Cześć
Mamy układ równań:
Zbadać rozwiązalność układów ze względu na parametry. Jeżeli rozwiązanie istnieje, znaleźć je.
\(\displaystyle{ \begin
x - ky -3z = 0 \\
mx + y + 5z = 0 \\
2x + ky +z =0 \\
x + y - z =0
\end}\)
Jak to ugryźć?

[SidCom]

wzory Cramera

[matematyka464]

jak to wzory Cramera, jak macierz nie jest kwadratowa?

[a4karo]

Z pierwszego rownania \(\displaystyle{ ky+z=-2z}\). Wstaw to do trzeciego równania. Wtedy z trzeciego i czwartego otrzymasz \(\displaystyle{ y=0}\). Dalej sie pomęcz

[matematyka464]

ok, faktycznie. Ale była też jakaś metoda na patrzenie na minory itd. I nie pamiętam o co w niej chodziło. Nie da się tego jakoś inaczej?

-- 10 cze 2014, o 19:30 --

poza tym, to równanie tak nie wygląda. Nie wiem dlaczego TeX zgubił x'a . Poprawiam:
\(\displaystyle{ \begin \\ x - ky -3z = 0 \\ mx + y + 5z = 0 \\ 2x + ky +z =0 \\ x + y - z =0 \end}\)

[a4karo]

Jest jasne, że rząd macierzy głównej jest taki sam jak rząd macierzy uzupełnionej. Masz więc do policzenia cztery minory rzędu 3, a potem być może trochę mniejszych.-- 10 cze 2014, o 19:41 --Możesz też wyeliminować zmienną (np. \(\displaystyle{ z}\)) i zobaczyć co dostaniesz.

[matematyka464]

Ok, ale jak się zachować przy parametrze?
Założmy, że wyznaczyłem sobie jakiś tam minor i zapisałem równość na policzenie wyznacznika. Chcemy bowiem, żeby był on niezerowy. Tak samo muszę znaleźć minor macierzy uzupełnionej, ale przy nim też dostanę przecież wyznacznik zależny od parametru. Mogę niby rozwiązywać równania, a potem wziąć część wspólną, ale czy to wszystkie rozwiązania?

Poza tym, ja już sam nie wiem jak wyznaczać te minory .Zawsze myślałem, to ma być podmacierz spójna. Ten obrazek zmienił mój punkt widzenia, jak w końcu?:
... L-8-13.png

[a4karo]

Podmacierz nie musi być spójna: bierzesz najpierw wszystkie minory stopnia 3 i liczysz ich wartosci

[matematyka464]

czyli taka macierz może być dowolnego stopnia?-- 10 cze 2014, o 20:54 --ale jak mam policzyć ich wartości skoro to jest względem parametru?

[a4karo]

Każdy z wyznaczników jest wyrazeniem od zmiennych \(\displaystyle{ k,m}\).

Jak dla jakiś wartosci parametrow jeden z nich jest różny od 0, to masz jednoznaczne rozwiązanie \(\displaystyle{ x=y=z=0}\).
Jeżeli natomiast wszystkie cztery jednoczesnie znikają, to masz układ rzędu 2 i musisz to zanalizować

[matematyka464]

ok, ale czy nie musze badac minora macierzy głównej i rozszerzonej?

[a4karo]

wczesniej napisalem, ze rzędy macierzy głównej i rozszerzonej są takie same, bo minory, w ktorych będą kolumny z macierzy rozszerzonej beda zerowe.