grupy permutacji

[acerr90]

Zbiór wszystkich permutacji zbioru n-elementowego wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę.

1)Co to jest działanie składania permutacji?

permutacja to róznowartosciowe odwzorowanie zbioru {1, . . . , n} w siebie.

2) Co to znaczy?

Jak składać permutacje? Mam przykład:
f=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{array}\right]}\)
g=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{array}\right]}\)

Złożenie f ig wynosi:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{array}\right]}\)

Jak to się składa?

[waliant]

permutacje składa się odwrotnie niż funkcje. Tutaj bierzesz najpierw \(\displaystyle{ g(1)}\) i odczytujesz jej wartość \(\displaystyle{ g(1)=2}\), następnie bierzesz \(\displaystyle{ f(2)}\) (ta dwójka to dlatego, że \(\displaystyle{ g(1)=2}\)) i odczytujesz jej wartość \(\displaystyle{ f(2)=4}\) i stąd \(\displaystyle{ \left( f \circ g\right)(1)=4}\) i analogicznie dalej dla \(\displaystyle{ g(2)=4}\), \(\displaystyle{ f(4)=2}\) i stąd \(\displaystyle{ \left( f \circ g\right)(2)=2}\)

[SidCom]

\(\displaystyle{ f \circ g= \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{array}\right] \circ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{array}\right]=}\)

pierwsza permutacja ustanawia porządek \(\displaystyle{ 3 \ 4\ 1\ 2}\)
bierzesz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&4&1&2\\a&b&c&d\end{array}\right]}\)

i teraz patrzysz co robi druga od lewej permutacja.

Stawia drugą liczbę na pierwszym miejscu \(\displaystyle{ a=4}\)
potem czwartą na drugim \(\displaystyle{ b=2}\)
trzecią na pierwszym \(\displaystyle{ c=1}\)
i pierwszą na czwartym \(\displaystyle{ d=3}\)



zatem dostajesz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&4&1&2\\4&2&1&3\end{array}\right]}\)

i ostatecznie piszesz

\(\displaystyle{ f \circ g=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{array}\right]}\)

[acerr90]

Nie wiem jak odczytać g(1) i f(2) ... Jak patrzeć na tą macierz?

[waliant]

To nie macierz tylko zapis permutacji. Górny wiersz zawsze ma kolejne liczby naturalne a dolny wiersz to odpowiadające im wartości. U Ciebie: \(\displaystyle{ f(1)=3}\),\(\displaystyle{ f(2)=4}\), \(\displaystyle{ f(3)=1}\), \(\displaystyle{ f(4)=2}\).