przestrzeń unitarna całek

[matematyka464]

Cześć
Weźmy zadanie:
W przestrzeni stopnia \(\displaystyle{ \le n}\) określono \(\displaystyle{ \phi(p,q) = \int^1_{-1} p(t)q(t)dt}\) .Udowodnij, że jest to iloczyn skalarny. Znaleźć bazę ortonormalną w \(\displaystyle{ RR_2[x] względem powyższego iloczynu skalarnego.
Warunek symetryczności wynika wprost z przemienności mnożenia.
Warunek liniowości z liniowości całki.
Dobrze?
Noi trzeci warunek, określona dodatniość, tzn.
\(\displaystyle{ \phi(p,p) >0}\) dla niezerowego wektora.
\(\displaystyle{ \phi(p,p) = \int^1_{-1} p(t)^2)dt}\)
No to niech \(\displaystyle{ p(t) =5}\)
\(\displaystyle{ \phi(p,p) = \int^1_{-1} p(t)^2)dt = \int^1_{-1} 25)dt = 0}\)
Więc jest taki wielomian kontrprzykładem. Wg. odpowiedzi to jest iloczyn skalarny.
Gdzie robię błąd?}\)

[Kmitah]

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{+1} 25 \mbox{d}t = [25t]_{-1}^{+1}=25-(-25)=25+25=50.}\)

[Arytmetyk]

wystarczy, że sprawdzisz aksjomaty iloczynu skalarnego to zobaczysz, że jest to iloczyn skalarny

w twoim "kontrprzykładzie" błędnie zastosowałeś wzór na całkę z funkcji nieparzystej

[matematyka464]

a czy dwa pierwsze warunki są OK?