odległość wielomianów

[matematyka464]

Cześć
Takie zadanie:
\(\displaystyle{ \mbox{ W przestrzeni wielomianów } \RR_2[x] \mbox{ z iloczynem skalarnym } p * q = \int^1_{-1}p(t)q(t)dt \mbox{ znalezc odleglosc wektora } w(x) = 1 - x + x^2 \mbox{ od podprzestrzeni } V = lin\{ 1, x \}.}\)
Teraz pytanie:
Poszukajmy takiego wektora, dla którego iloczyn skalrany z wektorem zadanym będzie wynosił 0. Wtedy wyznaczymy taki wektor, że będzie on prostopadły do zadanego wektora.
Szukany wektor musi być tez prostopadły do podprzestrzeni. No właśnie. Jak to zapewnić?

[szw1710]

Przeczytaj w którymś z podręczników analizy funkcjonalnej twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Znajdziesz konkretny wzór na ten rzut. Zrzutuj Twój wielomian na podaną podprzestrzeń. Następne wylicz odległość wielomianu od jego rzutu. Czysta geometria, nieprawdaż?

[musialmi]

Właśnie tu jest trochę inaczej, bo odległość przecina pod kątem prostym tylko podprzestrzeń, natomiast wektora danego nie. Jeśli złożysz sobie trójkąt prostokątny, gdzie zadany wektor \(\displaystyle{ w(x)}\) tworzy przeciwprostokątną, natomiast jego rzut ortogonalny, który NALEŻY do podprzestrzeni V (oznaczmy go przez \(\displaystyle{ v}\)), jest przyprostokątną, to drugą przyprostokątną jest odległość. I jest ona równa \(\displaystyle{ w-v}\)

[matematyka464]

Właśnie tu jest trochę inaczej, bo odległość przecina pod kątem prostym tylko podprzestrzeń, natomiast wektora danego nie. Jeśli złożysz sobie trójkąt prostokątny, gdzie zadany wektor w(x) tworzy przeciwprostokątną, natomiast jego rzut ortogonalny, który NALEŻY do podprzestrzeni V (oznaczmy go przez v), jest przyprostokątną, to drugą przyprostokątną jest odległość. I jest ona równa w-v

Ohohoho, a skąd to się wzięło :O

[musialmi]

Cóż... z definicji

Spójrz na ten obrazek. y z daszkiem to rzut igreka. Przerywaną linię można opisać jako różnicę tych dwóch wektorów (i leży ona pod kątem prostym względem rzutu).