Macierz przejścia- przekształcenia liniowe

[Heisenberg]

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L:R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\) spełnia warunki:

\(\displaystyle{ L(3,2)=(-3,-2)}\)
\(\displaystyle{ L(1,2)=(3,6)}\)

Wyznaczyć macierz przejścia w bazach standardowych.

[Kmitah]

Z zadanych warunków:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
-3 \\
-2
\end{array}
\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
3 \\
6
\end{array}
\right)}\)
Uzyskujemy stąd układ równań:
\(\displaystyle{ 3a + 2b = -3 \\
3c + 2d = -2 \\
a + 2b = 3 \\
c + 2d = 6,}\)
który rozbija się na dwa "podukłady":
\(\displaystyle{ 3a + 2b = -3 \\
a + 2b = 3}\)
oraz
\(\displaystyle{ 3c + 2d = -2 \\
c + 2d = 6.}\)
Odejmując w obu podukładach równanie drugie stronami od pierwszego, uzyskujemy:
\(\displaystyle{ 2a = -6}\)
oraz
\(\displaystyle{ 2c = -8,}\)
skąd uzyskujemy, że \(\displaystyle{ a = - 3}\) oraz \(\displaystyle{ c = -4}\).
Teraz z faktu, że
\(\displaystyle{ a+2b = 3}\)
oraz
\(\displaystyle{ c + 2d = 6,}\)
łatwo możemy wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ b = 3}\)
oraz
\(\displaystyle{ d = 5.}\)
Ostatecznie, macierz odwzorowania w bazie standardowej będzie miała postać:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc}
-3 & 3 \\
-4 & 5
\end{array}
\right)}\).

[musialmi]

Kmitah, czy macierz przejścia do bazy standardowej to to samo, co macierz odwzorowania w bazie standardowej?

[Kmitah]

Musialmi: przypuszczam, że autorowi chodziło o macierz odwzorowania w bazach standardowych. Nie ma tu żadnej mowy o zmianie baz, trudno więc określać jakąkolwiek macierz przejścia.