przestrzenie unitarne

[matematyka464]

Cześć
Mamy zdefiniowany cosinus, a od tego już sam kąt:
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{(v,w)}{||v||\cdot ||w||}}\)
I o ile w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\) jestem w stanie sobie to wyobrazić ( co oczywiste ) to jak pomyślę o przestrzeniach unitarnych innych niż ta na płaszczyźnie to dostaję mętliku. Dokładniej.
Czy pojęcie kąta ma jakikolwiek sens/zastosowanie w innych przestrzeniach niż \(\displaystyle{ \RR^2 , \RR^3}\)? Czy jest ono wprowadzone tylko dla zastosowań właśnie tych przestrzeni?

[szw1710]

Pojęcie kąta i jego miary ma sens w każdej przestrzeni. Mamy np. rzuty na podprzestrzenie, w szczególności rzuty ortogonalne (prostopadłe). W związku z tym pojawiają się zagadnienia optymalizacyjne.

Pytanie badawcze: z czego wynika, że cosinus kąta w przestrzeni unitarnej jest dobrze określony, tj. przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\)? Własność, o którą pytam, jest niezmiernie ważna i w algebrze liniowej, i w analizie funkcjonalnej. Ma też zadziwiające zastosowania w rachunku prawdopodobieństwa.

[musialmi]

Z tym kątem w innych przestrzeniach to jest tak, jak z przestrzeniami większego wymiaru - nie umiemy sobie tego wymiaru wyobrazić, dlatego też wyobrażenie sobie kąta może być trudne albo całkiem niemożliwe

[matematyka464]

Pytanie badawcze: z czego wynika, że cosinus kąta w przestrzeni unitarnej jest dobrze określony, tj. przyjmuje wartości z przedziału [-1,1]?

Dlatego właśnie uwielbiam zaglądasz do moich tematów . Już nie pierwszy raz mi zadajesz pytanie, a zawsze doskonale wiesz o co zapytać.

Odpowiadając. Nierówność wynika z nierówności Schwarza, ale skąd ta wynika. Jeżeli mi dasz jakieś dobre wyjaśnienie ( albo gdzieś odeślesz) to będę wdzięczny. Intuicja geometryczna pożądana

[szw1710]

Po prostu to wynika z nierówności Schwarza. Moduł licznika jest nie większy od mianownika i wszystko.

Zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce: współczynnik korelacji liniowej Pearsona jest na moduł nie większy niż \(\displaystyle{ 1}\), a jeśli jest równy \(\displaystyle{ 1}\) bądź \(\displaystyle{ -1}\), to między badanymi zmiennymi występuje zależność liniowa: jedna zmienna jest funkcją liniową drugiej.

W metodzie najmniejszych kwadratów z nierówności Schwarza wykazujemy wypukłość funkcji celu, a co za tym idzie, że znalezione parametry równania regresji minimalizują funkcję celu.

Nierówność Schwarza jest naprawdę bardzo ważna i inspirująca.

[matematyka464]

Po prostu to wynika z nierówności Schwarza.
Ok, dowód mogę sobie zobaczyć, ale jeżeli mógłbym to zobaczyć w przestrzeni RR^2 to byłoby pouczające

Nierówność Schwarza jest naprawdę bardzo ważna i inspirująca.

Rozumiem, że w przypadkach, które przedstawiłeś ta nierówność nie dotyczyc iloczynu skalarnego a odpowiednich obiektów czy to w rachunku prawdopodobieństwa czy to w funkcji celu

[szw1710]

We wspomnianych zastosowaniach odpowiednio definiujemy wektory i posługujemy się normą euklidesową.

Dowód nierówności Schwarza jest raczej algebraiczny - trójmian kwadratowy nieujemny i jego wyróżnik. To znają wszyscy. A jak to jest na płaszczyźnie? Wyobraź sobie twierdzenie cosinusów.