Witam chciałbym się upewnić co do wyników zadań oraz prosić o pomoc z tymi, których nie potrafię.
Zad.1
Zbadać czy odwzorowania są liniowe:
\(\displaystyle{ a) T:R^{3}\rightarrow R, T(x,y,z)=xyz}\)
\(\displaystyle{ b) T:R^{2}\rightarrow,R^{2} T(x,y)=(3x+y,y)}\)
Zad.2
Wyznaczyć jądro i obraz odwzorowania liniowego
\(\displaystyle{ T:R^{3}\rightarrow,R^{2} T(x,y,z)=(x-y,2x+z)}\)
Zad.3
Wyznaczyć macierz odwzorowania względem baz B w dziedzinie i C w przeciwdziedzinie, jeżeli
\(\displaystyle{ T(x,y,z)=(2x+y,2y+z,2z+x)}\)
\(\displaystyle{ B={(1,0,1),(1,1,2),(1,1,1)}}\)
\(\displaystyle{ C={(0,1,1),(0,2,1),(1,0,1)}}\)
Zad.4
Stosując algorytm Grama-Schmidta zortogonalizować układ wektorów:
\(\displaystyle{ v_{1}=(0,0,1,0), v_{2}=(1,0,0,1), v_{3}=(1,1,0,1), v_{4}=(1,1,0,0).}\)
Zad.5
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne odwzorowań
\(\displaystyle{ a) T(x,y,z,w)=(x-3w,3w+x+2y,3z,4w)}\)
\(\displaystyle{ b) T(x,y,z)=(3x-z,3y,3z)}\)
Jeżeli to możliwe, podać macierze tych odwzorowań w bazie złożonej z wektorów własnych.
Jak na razie mam Zad.4 w przyjmując po kolei \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}\) mam
\(\displaystyle{ y_{1}=v_{1}=(0,0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=(1,0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ y_{3}=(0,1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ y_{4}=(\frac{1}{2},0,0,\frac{-1}{2})}\)
Z Zad.2 jądro mi wyszło \(\displaystyle{ (t,t,-2t)}\) a obraz \(\displaystyle{ (-2,-4)(0,-4)}\)
W Zad.1 a) Wyszło mi ,że jest odwzorowaniem natomiast b) nie jest.
Proszę o pomoc z resztą. Z góry bardzo dziękuję.
Kilka zadań
-
Kmitah
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 16 lut 2012, o 16:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki / Białystok
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 28 razy
Kilka zadań
Zadanie 1.
Odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ f(\alpha a + \beta b) = \alpha f(a) + \beta f(b)}\), dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) i wektorów \(\displaystyle{ a, b}\).
W przykładzie a) zauważmy, że np. \(\displaystyle{ f(2(x, y, z)) = f(2x, 2y, 2z) = (2x)(2y)(2z) = 8xyz}\), podczas gdy \(\displaystyle{ 2f(x, y, z) = 2xyz \neq 8 xyz}\), zatem odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\) z zadania nie jest liniowe.
Zadanie 2.
Jądro odwzorowania to, mówiąc kolokwialnie, "to, co przechodzi na zero". Mamy więc \(\displaystyle{ x-y = 0}\) i \(\displaystyle{ 2x + z = 0}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ x=y}\) i \(\displaystyle{ z=-2x}\), zatem jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ T}\) jest zbiór wektorów: \(\displaystyle{ \{(x, x, -2x)\}}\).
Odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ f(\alpha a + \beta b) = \alpha f(a) + \beta f(b)}\), dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) i wektorów \(\displaystyle{ a, b}\).
W przykładzie a) zauważmy, że np. \(\displaystyle{ f(2(x, y, z)) = f(2x, 2y, 2z) = (2x)(2y)(2z) = 8xyz}\), podczas gdy \(\displaystyle{ 2f(x, y, z) = 2xyz \neq 8 xyz}\), zatem odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\) z zadania nie jest liniowe.
Zadanie 2.
Jądro odwzorowania to, mówiąc kolokwialnie, "to, co przechodzi na zero". Mamy więc \(\displaystyle{ x-y = 0}\) i \(\displaystyle{ 2x + z = 0}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ x=y}\) i \(\displaystyle{ z=-2x}\), zatem jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ T}\) jest zbiór wektorów: \(\displaystyle{ \{(x, x, -2x)\}}\).
Kilka zadań
Staram się uaktualniać to co już zrobiłem w pierwszym poście pod zadaniami. Czy obraz może być taki jak napisałem? Czy można tym manipulować i napisać, że obrazem jest (1,0)(0,1)?
Mógłby mi ktoś pomóc z zadaniem 3 oraz 5?
W Zad.3 nie wiem czy dobrze to poukładałem ale mam coś takiego:
\(\displaystyle{ B_{1} \left[2,1,3\right]}\)
\(\displaystyle{ B_{2} \left[3,4,5\right]}\)
\(\displaystyle{ B_{3} \left[3,3,3\right]}\)
To w dziedzinie a przeciwdziedzina to:
\(\displaystyle{ C_{1} \left[1,0,2\right]}\)
\(\displaystyle{ C_{2} \left[0,2,3\right]}\)
\(\displaystyle{ C_{3} \left[-3,3,3\right]}\)
Czy to jest dobrze? Macierz odwzorowania to będą wektory C pisane pionowo?
Mógłby mi ktoś pomóc z zadaniem 3 oraz 5?
W Zad.3 nie wiem czy dobrze to poukładałem ale mam coś takiego:
\(\displaystyle{ B_{1} \left[2,1,3\right]}\)
\(\displaystyle{ B_{2} \left[3,4,5\right]}\)
\(\displaystyle{ B_{3} \left[3,3,3\right]}\)
To w dziedzinie a przeciwdziedzina to:
\(\displaystyle{ C_{1} \left[1,0,2\right]}\)
\(\displaystyle{ C_{2} \left[0,2,3\right]}\)
\(\displaystyle{ C_{3} \left[-3,3,3\right]}\)
Czy to jest dobrze? Macierz odwzorowania to będą wektory C pisane pionowo?