gdzie robię błąd?

[matematyka464]

Cześć
Niech \(\displaystyle{ A = \left[\begin{matrix}
7 & -8 \\
3 & -4
\end{matrix}\right]}\) Znajdź macierz diagonalną \(\displaystyle{ B}\) podobną do macierzy \(\displaystyle{ A}\) oraz macierz odwracalną \(\displaystyle{ C}\) taką, że \(\displaystyle{ B=C^{-1} AC}\)
Znajduję wartości własne: \(\displaystyle{ -1, 4}\)
Znajduję dwa wektory własne:
\(\displaystyle{ v_1 = [1,1] \\ v_2 = [8,3]}\)
Nazwijmy bazę złożoną z tych wektorów \(\displaystyle{ B}\).
Zatem odnajduję macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\) w bazie utworzonej z wektorów własnych.
W tym celu znajduję macierz przejścia z bazy kanonicznej do bazy utworzonej z wektorów własnych. Nazwijmy tą macierz przejścia \(\displaystyle{ C = \left[\begin{matrix} 1 & 8 \\
1 & 3
\end{matrix}\right]}\)
I odwrotną od niej:
\(\displaystyle{ \[\begin{pmatrix}-\frac{3}{5} & \frac{8}{5}\cr \frac{1}{5} & -\frac{1}{5}\end{pmatrix}\]}\)
Ze wzoru poszukiwana macierz:
\(\displaystyle{ M(\phi) = C^{-1}AC = \[\begin{pmatrix}-\frac{3}{5} & \frac{8}{5}\cr \frac{1}{5} & -\frac{1}{5}\end{pmatrix}\] \cdot \[\begin{pmatrix}7 & -8\cr 3 & -4\end{pmatrix}\] \cdot \[\begin{pmatrix}1 & 8\cr 1 & 3\end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix}-\frac{21}{5} & -\frac{512}{5}\cr \frac{3}{5} & \frac{12}{5}\end{pmatrix}\]}\)
Ja nie widzę błędu rozumowania, a wg odpowiedzi poprawne rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} -1 & 0 \\
0 & 4
\end{matrix}\right]}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}-\frac{3}{5} & \frac{8}{5}\\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{5}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7 & -8\\ 3 & -4\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1 & 8\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{21}{5} & -\frac{512}{5}\\ \frac{3}{5} & \frac{12}{5}\end{pmatrix}}\)

Błąd jest tutaj, wykonaj mnożenie jeszcze raz.

Oczywiście tego mnożenia nie trzeba wykonywać, bo od razu wiemy, że musi wyjść macierz diagonalna z wartościami własnymi na przekątnej. I jedyny powód dla którego chcielibyśmy pomnożyć to przekonanie się na własne oczy, że to działa.

Q.