Znajdowanie macierzy w bazach

[600613]

Cześć, chciałbym się upewnić czy dobrze rozumuję rozwiązując (raczej proste...) zadanie.

Niech \(\displaystyle{ L: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) będzie przekształceniem liniowym zadanym wzorem:
\(\displaystyle{ L((x_1, x_2, x_3)^T) = (x_3, x_1)^T}\).

Niech
\(\displaystyle{ u_1 = (1, 0, -1)^T, u_2 = (1,2,1)^T, u_3 = (-1, 1, 1)^T}\) (\(\displaystyle{ U := \{u_1, u_2, u_3\}}\))
jest bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), a \(\displaystyle{ E}\) jest bazą standardową \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
.
1. Czy dobrze rozumiem że baza \(\displaystyle{ E}\) wygląda tak: \(\displaystyle{ E := \{e_1, e_2\}}\), gdzie \(\displaystyle{ e_1=(0,1), e_2=(1,0)}\) ?

2. Muszę znaleźć macierz \(\displaystyle{ M_{UE} (L)}\) tzn. macierz \(\displaystyle{ L}\) w bazach \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ E}\).

Moje obliczenia wyglądają tak (ale nie mam pojęcia czy są poprawne):
\(\displaystyle{ L(u_1) = L(\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ L(u_2) = L(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ L(u_3) = L(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\)

Teraz szukam przedstawienia w bazie \(\displaystyle{ E}\):
\(\displaystyle{ [\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}]_E}\)
\(\displaystyle{ 0 * a + 1 * b = -1; 1 * a + 0 * b = 1}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow a = 1, b = -1}\)

\(\displaystyle{ [\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}]_E}\)
\(\displaystyle{ 0 * c + 1 * d = 1; 1 * c + 0 * d = 1}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow c = 1, d = 1}\)

\(\displaystyle{ [\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}]_E}\)
\(\displaystyle{ 0 * e + 1 * f = 1; 1 * e + 0 * f = -1}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow e = -1, f = 1}\)

Zatem: \(\displaystyle{ M_{UE}(L) = \begin{bmatrix} a & c & e \\ b & d & f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}}\)

Czy jest to poprawne rozwiązanie? Jeśli nie, prosiłbym o wskazówki.
Pozdrawiam

[Rickie]

Tak, prześledziłem Twój tok rozumowania i wydaje się wszystko poprawnie.
Pozdrawiam!

[600613]

Dziękuję Ci za potwierdzenie (i że chciało Ci się prześledzić to moje rozwiązanie )

Miałbym jeszcze kolejne pytanie, chyba nawet prostsze, ale ciągle niepewnie się w tym czuję, dlatego prosiłbym o potwierdzenie dwóch podpunktów:
\(\displaystyle{ B := \{b_1, b_2\}, b_1 = (1,-1)^T, b_2 = (2,-1)^T}\)
1) macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do bazy \(\displaystyle{ E}\), tzn. \(\displaystyle{ M_{BE}(id)}\)
wyszło mi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}}\)

2) odwrotnie do 1): macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ E}\) do bazy \(\displaystyle{ B}\), tzn. \(\displaystyle{ M_{EB}(id)}\)
wyszło mi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}}\)

3) korzystając z pierwszego postu w tym temacie i punktu 2) powyżej, wyznaczyć \(\displaystyle{ M_{UB}(L)}\) - czy w tym wypadku wystarczy pomnożyć macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1\end{bmatrix}}\) * \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}}\) ?

Czy są to poprawne rozwiązania? Jeśli nie, prosiłbym o wskazówki.
Pozdrawiam