Baza R_4[x].

[pwrobel]

Znaleźć bazę odpowiednich przestrzeni wektorowych, zawierającą wektory:

\(\displaystyle{ \left\{ x^{2}+5, x^{2}-3x, x^{4}-2x^{3} \right\}}\) w \(\displaystyle{ R_{4}\left[ x\right]}\)

Dzięki

[Kacperdev]

Potraktuj stopnie przy współczynniku jako miejsce w wektorze:
\(\displaystyle{ x^2+5}\) jako \(\displaystyle{ \left[ 0,0,1,0,5\right]}\)
id.
I teraz normalnie jak z wektorami.

[pwrobel]

Dalej nie bardzo wiem...

[Kacperdev]

Musisz dowiedzieć się jaka jest baza przestrzeni do której należą te wektory:

\(\displaystyle{ \left( 0,0,1,0,5\right), \left( 0,0,1,-3,0\right),\left( 1,-2,0,0,0\right)}\)

Jeżeli te wektory są liniowo niezależne tzn. ze stanową baze. Jeżeli nie, tzn., że jakiś wektor (wektory) są zbędne i mogą być przedstawione jako kombinacja liniowa pozostałych.

Sprawdź czy te wktory są liniowo niezależne np. wrzucając do macierzy i doprowadzając do postaci schodkowej.

Chociaż tu coś można od razu zauważyć. np. popatrzeć że tylko ostatni wektor na pierwszym miejscu ma niezerową liczbę.. stąd... itd.

[pwrobel]

To w sumie to wiedzialem, tylko czy wymiar bazy nie powinien być 5, tzn czy nie powinno sie "uzupelnic do bazy" o dwa wektory ?
Serdeczne dzieki

[Kacperdev]

Rzeczywiście!
No dobra, ale dzieki temu (troche niepotrzebnemu) zabiegowi wiemy, że te wektory na pewno są liniowo niezależne ale oczywiśćie nie stanową bazy \(\displaystyle{ \RR _4 \left[ x\right]}\) bo jak słusznie zauważyłeś wymiar tej przestrzeni wynosi \(\displaystyle{ 5}\).

Z tw. Steinitza o wymianie wiemy, że każdy liniowo niezależny zbiór wektorów można uzupełnić do bazy.
Możesz wziąć dwa byle jakie wektory i wrzucić je wszystkie do macierzy oraz sprawdzić kiedy ten wyznacznik będzie niezerowy.

[pwrobel]

To już wszystko wiemy, tylko ten wyznacznik jest bardzo skomplikowany, nawet nie wiem czy da sie go wyliczyc, nie ma skuteczniejszej metody ?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}1&-2&0&0&0\\0&0&0&-3&-5\\0&0&1&0&5\\a&b&c&d&e\\f&g&h&i&j\end{array}\right|}\)

Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a=0,f=0}\) stąd z rozwinieca Laplace:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}0&0&-3&-5\\0&1&0&5\\b&c&d&e\\g&h&i&j\end{array}\right|}\) Teraz widać, że w pierwszej kolumnie to czy będzie zerowa zależy od współczynnikow \(\displaystyle{ b,g}\)

Przyjmimy, że \(\displaystyle{ b=0,g=1}\) itd.

[pwrobel]

No tak, słowo klucz to przyjmijmy Dzięki, wszystko zrozumialem.