Wyznaczanie jądra, bazy oraz przeciwobrazu

[xavi93]

Niech \(\displaystyle{ W}\) oznacza przestrzeń trójwymiarową \(\displaystyle{ R\left\{ 1,\cos x,\sin x\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ L: W \rightarrow → W}\) przekształcenie liniowe zadane wzorem:
\(\displaystyle{ L\left( a+b\cos x + c\sin x\right) =3a+2b-2c+\left( -a+c\right) \cos x + \left (2a+2b-c\right) \sin x}\).

a)Znajdź bazy \(\displaystyle{ kerL, ImL}\)
b)\(\displaystyle{ L^{-1} \left( 1+\cos x+2\sin x\right) =?}\)

Niestety algebra liniowa nie jest moja mocna strona, wiec prosze o wszelkie wskazówki (im bardziej szczegółowe, tym lepiej), z góry dziękuję i pozdrawiam.

-- 7 cze 2014, o 16:51 --

Dowiedziałem się, aby obliczyć jądro, trzeba utworzyć z przekształcenia liniowego macierz:
\(\displaystyle{ A\left( L\right) = \left[
\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -2\\
-1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & -1 \\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1\\
-1 & 0 & 1\\
0 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1\\
-1 & 0 & 1\\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 2 & 1\\
\end{array}
\right]
\rightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & \frac{1}{2} \\
\end{array}
\right]}\)

W tym miejscu z tego co wiem za parametr mogę podstawić coś niezerowego. No i chciałbym wiedzieć dlaczego niezerowego, i dlaczego te współczynniki z macierzy mam przyrównać do zera. Kontynuując:
\(\displaystyle{ x_{3}=2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}-2=0}\)
\(\displaystyle{ x_{2}-\frac{1}{2} \cdot 2=0}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=2}\)
wiec wynikeim jest wektor
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c}
2 \\
-1\\
2\\
\end{array}
\right]}\)
Wiec jądro ma postać taką ?
\(\displaystyle{ kerL=R\left\{ 2-\cos x+2\sin x\right\}}\)
Ktoś mi pomoże z resztą ?

[Rickie]

dlaczego te współczynniki z macierzy mam przyrównać do zera

Postaram się to prosto wytłumaczyć
Obliczając jądro, tak naprawdę znajdujesz te wektory, które "po zadziałaniu przekształcenia" dają wektor zerowy. Dlatego dopisujesz do macierzy przekształcenia kolumnę zer, czyli teraz rozwiązujesz układ równań, którego rozwiązaniem jest baza jądra (takie wektory, że jak weźmiesz ich kombinację liniową jakąkolwiek, i wrzucisz w przekształcenie, to ono wypluje Ci zero) Bazę jądra więc dobrze wyliczyłeś. Za parametr możesz podstawić dowolną liczbę rzeczywistą w tym przypadku. (Tak jakbyś rozwiazywał układ równań liniowych)

Obraz tworzy span liniowo niezależnych kolumn macierzy tego przekształcenia. Przynajmniej tak pamiętam.
(ale jestem studentem pierwszego roku więc mogę się mylić)
Pozdrawiam!