Obroty wektorów

[RobWan]

Moja pierwsza wizyta na forum i pierwszy temat. Witam wszystkich.
Mam praktyczny problem do rozwiązania. Obrót wektora.
Potrzebuję tego do modyfikacji ścieżki narzędzia w maszynie CNC.
Mam współrzędne wektora 3D. Początku i końca. Chcę obliczyć o jaki kąt muszę go obrócić względem osi OX, aby był równoległy do płaszczyzny XY. I po takim obrocie muszę znać jego nowe współrzędne początku i końca. Będą dwa takie kąty. Różnić się będą o 180°. Ja potrzebuję ten, który będzie po dodatniej stronie osi OZ.
Wektory są tak stworzone, że zawsze będzie rozwiązanie. Są rysowane na płaszczyznach zawsze równoległych do OX.

Pewnie gotowca nie dostanę (chyba nawet nie chcę), ale jeżeli ktoś zechce pomóc to proszę, na ile to możliwe o szczegóły. Od czego zacząć.

Obliczenia chyba w Excelu będę robił, bo tych wektorów tysiące może być.

Robert

[SidCom]

Weźmy wektor \(\displaystyle{ \ \vec{AB}\ oraz \ A=(a_1,a_2,a_3)\ B=(b_1,b_2,b_3)}\)

Teraz obrót jakiegoś punktu \(\displaystyle{ P=(x,y,z)}\) wokół osi \(\displaystyle{ OX}\) o kąt \(\displaystyle{ \ \varphi}\)
dostajemy punkt \(\displaystyle{ P'=(x,y',z')}\)

\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c}y'\\z'\end{array}\right)=
\left[\begin{array}{cc}\cos{\varphi} & \sin{\varphi}\\-\sin{\varphi} & \cos{\varphi} \end{array}\right]
\left( \begin{array}{c}y\\z\end{array}\right)}\)

lub jawnie:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x' = x\\
y'=y\cos{\varphi}+z\sin{\varphi}\\
z'=-y\sin{\varphi}+z\cos{\varphi} \end{cases}}\)

Nowy wektor \(\displaystyle{ \vec{A'B'}\ \parallel \text{pł} \ XY \ \iff a_3'=b_3'}\)
z- owe współrzędne punktów \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) są równe.

Mi wychodzi po obliczeniach, że kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) musi spełnić równanie

\(\displaystyle{ \tan{\varphi}= \frac{b_3-a_3}{b_2-a_2}}\)

czyli jak kto woli

\(\displaystyle{ \varphi=\arctan{\frac{b_3-a_3}{b_2-a_2}}}\)

[RobWan]

Dziękuję za zainteresowanie.
Czyli najpierw muszę obliczyć kąt \(\displaystyle{ \ \varphi}\)?
Wydaje mi się, że skorzystam z definicji kąta skierowanego.

Robert

P.S.
Zanim wysłałem wiadomość to rozszerzyłeś swoją. Muszę to przeanalizować, bo to co napisałem powyżej może być już nieaktualne.

[SidCom]

ostatnie dwa wzorki są poprawne. Można było dojść do tego znacznie szybciej analizując rzut wektora na płaszczyznę \(\displaystyle{ YZ}\)

[RobWan]

Matematyka takie rzeczy o które prosiłem opisuje zgodnie z rzeczywistością. Zastanawiam się jak interpretować to, że jeżeli \(\displaystyle{ b_2=a_2}\) kąt jest nieokreślony. Ten odcinek w rzeczywistości jest prostopadły do \(\displaystyle{ OX}\) i leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ XZ}\).
I w takim przypadku wiem, że należy go obrócić o 90°. A spodziewałem się, że to wyjdzie z obliczeń.
Pewnie czegoś nie wiem.

Robert

[SidCom]

Ten odcinek w rzeczywistości jest prostopadły do OX

Otóż, nie prostopadły tylko leżący w płaszczyźnie równoległej do pł. \(\displaystyle{ OX}\).

A kąt obrotu w takim przypadku wynosi \(\displaystyle{ \varphi=\pi/2}\)

co wynika bezpośrednio ze wzoru

\(\displaystyle{ \varphi=\arctan{\frac{b_3-a_3}{b_2-a_2}}}\)

gdyż \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}}\)