Wektory i wartości własne
-
Heisenberg
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 16 lis 2013, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
Wektory i wartości własne
Dla przekształcenia liniowego\(\displaystyle{ L:\RR ^{3} \to \RR ^{3}}\) danego wzorem \(\displaystyle{ L(x,y,z)=(3x-y+z,-x+3y+z,4z)}\) wyznaczyć wartości i wektory własne.
Ostatnio zmieniony 6 cze 2014, o 19:35 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
miodzio1988
-
Heisenberg
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 16 lis 2013, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
Wektory i wartości własne
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\-1&3&1\\0&0&4\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A _{\lambda}=\left[\begin{array}{ccc}3-\lambda&-1&1\\-1&3-\lambda&1\\0&0&4-\lambda\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det A_{\lambda}=(4-\lambda)\left[ (3-\lambda) ^{2}-1 \right] =0 \Leftrightarrow \lambda=4 \vee \lambda=2}\)
Wartości własne tej macierzy to: \(\displaystyle{ \lambda _{1}=4}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda _{2}=2}\)
Dla \(\displaystyle{ \lambda _{1}}\) macierz \(\displaystyle{ A _{\lambda}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&1&1\\0&0&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&1&1\\0&0&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=0 \Rightarrow z=0,x=y}\).
Wektory własne dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda _{1}=2}\) mają postać \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\x\\0\end{array}\right]}\),\(\displaystyle{ x \in \RR}\)
dla \(\displaystyle{ \lambda _{2}=4}\) macierz \(\displaystyle{ A _{\lambda}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-1&-1&1\\0&0&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-1&-1&1\\0&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=0 \Leftrightarrow x=y-z}\)
Wektory własne dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda _{1}=4}\) mają postać \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}y-z\\y\\z\end{array}\right]}\),\(\displaystyle{ y,z \in \RR}\)
\(\displaystyle{ A _{\lambda}=\left[\begin{array}{ccc}3-\lambda&-1&1\\-1&3-\lambda&1\\0&0&4-\lambda\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det A_{\lambda}=(4-\lambda)\left[ (3-\lambda) ^{2}-1 \right] =0 \Leftrightarrow \lambda=4 \vee \lambda=2}\)
Wartości własne tej macierzy to: \(\displaystyle{ \lambda _{1}=4}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda _{2}=2}\)
Dla \(\displaystyle{ \lambda _{1}}\) macierz \(\displaystyle{ A _{\lambda}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&1&1\\0&0&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&1&1\\0&0&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=0 \Rightarrow z=0,x=y}\).
Wektory własne dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda _{1}=2}\) mają postać \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\x\\0\end{array}\right]}\),\(\displaystyle{ x \in \RR}\)
dla \(\displaystyle{ \lambda _{2}=4}\) macierz \(\displaystyle{ A _{\lambda}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-1&-1&1\\0&0&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-1&-1&1\\0&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=0 \Leftrightarrow x=y-z}\)
Wektory własne dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda _{1}=4}\) mają postać \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}y-z\\y\\z\end{array}\right]}\),\(\displaystyle{ y,z \in \RR}\)