wektory i wartości własne przekształcenia liniowego

[Kamil61]

Jakie są wektory i wartości własne przekształcenia liniowego\(\displaystyle{ f: R^2 \rightarrow R^2}\) jeśli spełnia ono warunki:
\(\displaystyle{ f(2, -1) = (4, -2)}\) i \(\displaystyle{ f(1, 2) = (3, 6)}\)

Szukałem po forum i znalazłem wiele mniej lub bardziej podobnych zadań, ale rozwiązanie żadnego z nich nie pomogło mi zrozumieć ogólnej zasady rozwiązywania tego typu zagadnień.
Początkowo myślałem, że polega to na tym że:
\(\displaystyle{ [4,-2] = a \cdot [2,-1],}\) oraz \(\displaystyle{ [3,6] = b \cdot [1,2]}\)
i z tego jakoś dalej liczyć wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), ale to jednak nie ten kierunek.

W jednym z miejsc na forum znalazłem podpowiedz, że należy wyznaczyć macierz przekształcenia w bazie kanonicznej, a dopiero potem wyznaczyć wartości i wektory własne powstałej macierzy.
Jednak główny problem w tej poradzie polega na tym, że mimo poszukiwań nie znalazłem jasnego wyjaśnienia tematu wyznaczania macierzy przekształcenia dla podobnego przykładu zadania. Owszem w sieci jest nieco przykładów wyznaczania macierzy przekształcenia, ale jak już wspomniałem, żadnego z nich nie potrafię odnieść do swojego przykładu. A mi potrzeba prostego wyjaśnienia.

Proszę o pomoc.

[MadJack]

Używaj LaTeX-a do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy zdefiniujemy je na bazie. Zauważ, że wektory \(\displaystyle{ (2, -1), (1,2)}\) są liniowo niezależne, zatem wobec tego, że \(\displaystyle{ dim \ \mathbb{R} = 2}\) stanowią one bazę. W przeciwdziedzinie możemy ustalić bazę \(\displaystyle{ (1, 0), (0, 1)}\) (zależnie od wyboru bazy macierz odwzorowania może wyglądać inaczej, ale będzie opisywała ten sam homomorfizm, więc wartości własne będą te same), więc macierz będzie wyglądała tak \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}4&3\\-2&6\end{array}\right]}\). Wyznaczenie wartości własnych sprawia jakiś problem?

[Kamil61]

Dzięki za odpowiedz.
A teraz przechodząc dla przykładu do kolejnego tego typu zadania:

\(\displaystyle{ f\left( -1,2\right) = \left( 3,-6\right)}\) i \(\displaystyle{ f\left( 1,1\right) = \left( 2,2\right)}\)

Mam rozumieć, że skoro wektory \(\displaystyle{ \left( -1,2\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 1,1\right)}\) są również niezależne to także mogę przyjąć je jako bazę (\(\displaystyle{ dim R = 2}\)). A to z kolei da mi taką macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2\\-6&2\end{array}\right]}\)
i teraz wyznaczyć jej wartości własne i wektory własne (z czym nie będzie problemu).-- 6 cze 2014, o 20:29 --Spróbowałem obliczyć wartości własne macierzy która podałeś tj.\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&3\\-2&6\end{array}\right]}\) i doszedłem do przykrych wniosków, że ta macierz nie posiada wartości własnych...

Liczę je tak:\(\displaystyle{ \left( A- \alpha I \right) = \left[\begin{array}{ccc}4&3\\-2&6\end{array}\right] - \alpha \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4- \alpha &3\\-2&6- \alpha \end{array}\right]}\)
Potem liczę wyznacznik:
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{ccc}4- \alpha &3\\-2&6- \alpha \end{array}\right] = \left( 4- \alpha \right) \cdot \left( 6- \alpha \right) + 6 = \alpha ^2-10 \alpha +30}\)
A to równanie ma ujemną deltę i brak pierwiastków, a tym samym wartości własnych.
Podobne obliczenia zrobiłem dla macierzy\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2\\-6&2\end{array}\right]}\) i wyszło mi równanie \(\displaystyle{ \alpha ^2-5 \alpha +18}\), które również nie posiada pierwiastków
Czy dobrze to robię, czy coś pokręciłem. Chodź nie powinienem, ponieważ podobne liczenie wartości własnych robiliśmy na zajęciach.

[MadJack]

Przepraszam, niepotrzebnie zamieszałem i skomplikowałem zadanie, sugerując się podpowiedzią. Żeby policzyć wektory i wartości własne, musiałbyś wyznaczyć macierz endomorfizmu, czego nie potrafię obecnie zrobić. Ale wcale jej nie potrzebujemy. Przecież \(\displaystyle{ (4,-2) = 2 \cdot (2, -1) = f(2, -1)}\), więc dostajemy, że \(\displaystyle{ 2}\) jest wartością własną, a \(\displaystyle{ (2,-1)}\) jest wektorem własnym. Podobnie z drugiego dostajemy wartość własną \(\displaystyle{ 3}\). Kolejny przykład pójdzie tak samo.

[Kamil61]

OK, wielkie dzięki za pomoc !