Zbadać liniową niezależność wektorów

[Poszukujaca]

Zbadać liniową niezależność wektorów:

\(\displaystyle{ g_{1}(x)=\arcsin x,

g_{2}(x)=\arccos x,

g_{3}(x)=1}\)

w przestrzeni: \(\displaystyle{ C[-1,1]}\)

[norwimaj]

Wykresy tych funkcji widziałaś? Jak się do siebie mają wykresy funkcji \(\displaystyle{ g_1}\) i \(\displaystyle{ g_2}\)?

[Poszukujaca]

Zrobiłam coś takiego:

dla \(\displaystyle{ x=-1}\)

\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} \alpha_{1} + \pi \alpha_{2} + \alpha_{3} =0}\)

dla \(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\alpha_{2}+\alpha_{3} = 0}\)

dla \(\displaystyle{ x=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\alpha_{1}+\alpha_{3} = 0}\)

Rozwiązując ten układ równań otrzymuję:

\(\displaystyle{ \alpha_{1}=t, t \in R
\\ \\
\alpha_{2}=\alpha_{1}=t
\\ \\
\alpha_{3}=-\frac{\pi}{2}\alpha_{1}=-\frac{\pi}{2} t}\)

Skoro wszytskie współczynniki z liniowej kombinacji wielomianów są rózne od zera, to wielomiany te sa liniowo zależne.

Prosze o sprawdzenie, czy ta metoda jest właściwa.

I jeszcze jedna rzecz. Czy, jeśl badam liniową niezalezność wektorów w podanej przestrzeni, to wszystkie \(\displaystyle{ x \in C[-1,1]}\) czy współczynniki z kombinacji - \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}}\)?

[norwimaj]

Nie jest to poprawne rozwiązanie zadania, ale to jest już dobry pierwszy krok. Równość \(\displaystyle{ \alpha_1g_1(x)+\alpha_2g_2(x)+\alpha_3g_3(x)=0}\) ma zachodzić dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\). Sprawdzając tylko dla trzech wartości \(\displaystyle{ x}\) otrzymałaś warunek konieczny, jaki muszą spełniać współczynniki. Jeszcze trzeba sprawdzić, czy te współczynniki są dobre dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), tzn. czy istnieje \(\displaystyle{ t\ne0}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ t\,g_1(x)+t\,g_2(x)-\frac{\pi}2t\,g_3(x)=0.}\)

[Poszukujaca]

Hm...

\(\displaystyle{ t \neq 0}\), ponieważ inaczej wektory byłyby liniowo niezależne, więc..

\(\displaystyle{ t \cdot \left( \arcsin x + \arc cos x -\frac{\pi}{2}\right) =0}\)

Skoro \(\displaystyle{ t \neq 0}\) to \(\displaystyle{ \arcsin x + \arc cos x -\frac{\pi}{2}=0}\).

Istnieje tożsamość: \(\displaystyle{ \arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2}}\), dlatego wiemy, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in [-1,1], t \in R}: t \cdot \left( \arcsin x + \arc cos x -\frac{\pi}{2}\right) =0}\)

Czy to wystarczy?

Czy należy jeszcze udowodnić tą tożsamość?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ t \neq 0}\), ponieważ inaczej wektory byłyby liniowo niezależne,

Nie. Szukamy \(\displaystyle{ t\ne0}\), bo z równości dla \(\displaystyle{ t=0}\) nic nie wynika.

\(\displaystyle{ t \cdot \left( \arcsin x + \arc cos x -\frac{\pi}{2}\right) =0}\)

Skoro \(\displaystyle{ t \neq 0}\) to \(\displaystyle{ \arcsin x + \arccos x -\frac{\pi}{2}=0}\).

Lepiej byłoby to sformułować, że warunkiem koniecznym liniowej zależności jest tożsamość \(\displaystyle{ \arcsin x + \arc cos x -\frac{\pi}{2}=0}\). Inaczej czytelnik może się nie zorientować, dlaczego wnioskujesz w tę stronę, a nie w przeciwną.

Istnieje tożsamość: \(\displaystyle{ \arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2}}\), dlatego wiemy, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in [-1,1], t \in R}: t \cdot \left( \arcsin x + \arc cos x -\frac{\pi}{2}\right) =0}\)

Czy to wystarczy?

Wystarczy stwierdzić, że na przykład dla \(\displaystyle{ t=1}\) równość zachodzi. Ale skoro nie jest to zadanie z logiki, to może zostać tak jak jest, czyli z równością dla dowolnego \(\displaystyle{ t}\).

Czy należy jeszcze udowodnić tą tożsamość?

Można chyba założyć, że jest to ogólnie znana tożsamość.

[Poszukujaca]

norwimaj, dziękuję za wszystkie wyjaśnienia!

Jeszcze tylko jedno pytanie..

Czy jeśli tożsamość nie byłaby prawdziwa, to wektory nie byłyby liniowo zależne?

Chyba nie, skoro mówimy, że jest to warunek konieczny, a nie wystarczający.

[norwimaj]

Rzeczywiście pokazałaś, że prawdziwość tożsamości jest warunkiem koniecznym, czyli w przeciwnym razie wektory byłyby liniowo niezależne.

Zachodzenie tej tożsamości jest też warunkiem wystarczającym i tak naprawdę badanie warunku koniecznego można w rozwiązaniu pominąć. Chociaż takie rozwiązanie jest też poprawne i bardzo dobre z punktu widzenia dydaktycznego, bo pokazuje nie tylko sam wynik, ale też sposób dojścia do wyniku.