Witam,
Do rozwiązania pewnego problemu potrzebuję wyznaczenia \(\displaystyle{ p _{i}}\) poniższego równania. Można założyć, że wszystkie zmienne zapisane w tym temacie są dodatnie.
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(4 p_{i-1}^2-\sqrt{4 p_{i-1}^2+1}-4 p^2+\sqrt{4 p^2+1}\right)^2+4 \left(p_{i-1}
\left(\sqrt{4 p_{i-1}^2+1}+1\right)-p \left(\sqrt{4
p^2+1}+1\right)\right)^2}+\sqrt{4 p_{i-1}^2+1}+\sqrt{4 p^2+1}=4 p_{i-1}^2+4 p^2+2}\)
Jest to równanie praktycznie nie do rozwiązania na drodze ręcznych rachunków. Niestety Wolfram Mathematica nie radzi sobie z nim również - potrafi jedynie rozwiązać je numerycznie.
Odnosi się ono do problemu w tym temacie: Hipoteza okręgów stycznych do wykresu funkcji kwadratowej
Rozwiązałem go dla przypadku funkcji liniowej, przy której rachunków było już bardzo dużo. Dla funkcji kwadratowej jest ich jeszcze znacznie więcej, co widać na powyższym równaniu. Udało mi się je wyznaczyć z poniższego układu równań, w którym wszystkie zmienne są zgodne iteracyjnie (iterator to \(\displaystyle{ i}\)):
\(\displaystyle{ \begin{cases} r_{i}= -\frac{1}{2p _{i} }x _{i} +p _{i} ^{2}+ \frac{1}{2} \\ \sqrt{\left( p _{i}-x _{i} \right)^{2} +\left(p _{i}^{2}-r _{i} \right)^{2} }=r _{i}\\ \sqrt{\left( x _{i-1}-x _{i} \right)^{2} +\left(r _{i-1}-r _{i} \right)^{2} }=r _{i-1}+r _{i}\\ \end{cases}}\)
Jak widać zmiennych jest więcej niż równań, ale w przypadku funkcji liniowej było ich początkowo tyle samo. Wystarczyło wtedy wyznaczyć iloraz ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ (r _{n})}\), który na drodze wniosków z wyników rozwiązywania równań równy był \(\displaystyle{ \frac{p _{i} }{p _{i-1}}}\). Problem jednak tkwi w tym, iż wydaje mi się, że dla funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ (r_{n})}\) nie będzie ciągiem geometrycznym, bowiem stosunki sąsiadujących ze sobą wyrazów tego ciągu będą już same w sobie tworzyć ciąg geometryczny.
Jednak to wszystko nie zmienia faktu, że powyższy układ równań jest rozwiązywalny i da się wyznaczyć z niego \(\displaystyle{ p _{i}}\) przy pomocy \(\displaystyle{ p _{i-1}}\). Niestety nie jest to jak widać proste.
Bardzo prosiłbym o pomoc w problemie, albo chociaż nakierowanie na sposób rozumowania