Wyznacz macierz przekształcenia liniowego

[ali12345]

Dane jest przekształcenie liniowe f: \(\displaystyle{ W_{2}(R) \rightarrow W_{4}(R)}\) określone wzorem \(\displaystyle{ f(\varphi)(t)=\varphi (1- t^{2})}\).

Wyznacz macierz przekształcenia f w bazach odpowiednio \(\displaystyle{ (1,t,t^{2})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ W_{2}(R)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,t,t^{2},t^{3},t^{4})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ W_{4}(R)}\)

Sprawdź, czy f jest iniekcją, suriekcją, bijekcją.

Mnie wyszła macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\), natomiast wg odpowiedzi powinno być \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&0&0\\0&-1&-2\\0&0&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

[Qń]

Macierz z odpowiedzi jest poprawna, a Twoja błędna - jeśli przedstawisz swoje rozumowanie, to będzie można wskazać Twój błąd.

Q.

[ali12345]

Ok, już piszę jak to zrobiłem

Dowolny wielomian: \(\displaystyle{ w(t)=at^{2} + bt+c}\).
\(\displaystyle{ f(w(t))=(at_{2} + bt+c) \cdot (1-t^{2}) = -at^{4}-bt^{3}+(a-c)t^{2}+bt+c}\)

I teraz podstawiając kolejno wielomiany z bazy, tj.
\(\displaystyle{ w_{1}(t)=1}\), czyli \(\displaystyle{ a=1, b=0, c=0}\)
\(\displaystyle{ w_{2}(t)=t}\), \(\displaystyle{ a=0, b=1, c=0}\)
\(\displaystyle{ w_{3}(t)= t^{2}}\) \(\displaystyle{ a=0, b=0, c=1}\)

do funkcji wychodzą odpowiednio

\(\displaystyle{ f(w_{1}(t))=-t^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ f(w_{2}(t))=-t^{3}+t}\)
\(\displaystyle{ f(w_{1}(t))=-t^{4}+t^{2}}\)

te wielomiany w prosty sposób rozkładają się w bazie "kanonicznej", i po prostu odpowiednio wpisałem do macierzy

[Qń]

Wygląda na to, że nie zrozumiałeś jak działa przekształcenie \(\displaystyle{ f}\). A działa tak:
\(\displaystyle{ at^2+bt+c \to a(1-t^2)^2 + b(1-t^2) +c}\)

Q.

[ali12345]

Ok, już wszystko jasne. Dzięki.