Mam pytanie odnoscie ukladow rownan liniowych:
Jesli mam uklad 3 rownan z 4 niewiadomymi , licze rzad macierzy poszerzonej i głownej rzedy sa sobei rowne ale mniejsze od n-niwiadomych
wychodzi mi ze uklad jest zalezny od 2 parametrow
Jak nalezy dalej rozwiazywac taki uklad?
Bo kiedy zastepuje 2 niewiadome parametrami i probuje obliczyc pozsotane niewiadome to wychodza mi bzdury
uklad mam taki
x1-x2+x3+x4=1
x1-x2+x3-x4=-1
x1-x2+x3+5x4=5
uklad rownan liniowych
-
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 10 lis 2006, o 16:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 5 razy
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 10 lis 2006, o 16:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 5 razy
uklad rownan liniowych
chyba nie moge tak zrobic bo jakby niby wygladao ostateczne rozwiazanie?
w odpowiedziach mam ze x1=alfa x2=beta x3= beta - alfa x4=1 ale nie mam pojeciac jak im to wyszło
macie jakies pomysł?
w odpowiedziach mam ze x1=alfa x2=beta x3= beta - alfa x4=1 ale nie mam pojeciac jak im to wyszło
macie jakies pomysł?
-
- Użytkownik
- Posty: 112
- Rejestracja: 22 kwie 2007, o 14:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 31 razy
uklad rownan liniowych
mamy pomysl
jesli od rownania (2) odejmiesz rownanie (1) to otrzymasz
\(\displaystyle{ -2x_4=-2}\)
czyli \(\displaystyle{ x_4=1}\)
jesli teraz od rownania (3) odejmiesz rownanie (1) to otrzymasz mniej wiecej to samo.
rownania (2) i (3) sa zatem zalezne, jedno mozna wykreslic, bo nie wnosi nic nowego.
jesli teraz do rownania (1) podstawisz \(\displaystyle{ x_4=1}\), to otrzymasz
\(\displaystyle{ x_1-x_2+x_3=0}\)
z tego rownania mozesz wyliczyc tylko jedna zmienna, a resze musisz przyjac jako parametry. w Twoich odpowiedziach wybrano sobie x3
\(\displaystyle{ x_3=x_2-x_1}\)
zatem zbior rozwiazan:
\(\displaystyle{ \{(x_1,x_2,x_3,x_4): x_1=\alpha, x_2=\beta, x_3=\beta - , x_4 =1\}}\)
to, ze \(\displaystyle{ x_1=\alpha, x_2=\beta}\) oznacza, ze moga to byc dowolne liczby.
jesli od rownania (2) odejmiesz rownanie (1) to otrzymasz
\(\displaystyle{ -2x_4=-2}\)
czyli \(\displaystyle{ x_4=1}\)
jesli teraz od rownania (3) odejmiesz rownanie (1) to otrzymasz mniej wiecej to samo.
rownania (2) i (3) sa zatem zalezne, jedno mozna wykreslic, bo nie wnosi nic nowego.
jesli teraz do rownania (1) podstawisz \(\displaystyle{ x_4=1}\), to otrzymasz
\(\displaystyle{ x_1-x_2+x_3=0}\)
z tego rownania mozesz wyliczyc tylko jedna zmienna, a resze musisz przyjac jako parametry. w Twoich odpowiedziach wybrano sobie x3
\(\displaystyle{ x_3=x_2-x_1}\)
zatem zbior rozwiazan:
\(\displaystyle{ \{(x_1,x_2,x_3,x_4): x_1=\alpha, x_2=\beta, x_3=\beta - , x_4 =1\}}\)
to, ze \(\displaystyle{ x_1=\alpha, x_2=\beta}\) oznacza, ze moga to byc dowolne liczby.
- Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
uklad rownan liniowych
Można to zrobić także inaczej.
Po obliczeniu rzędów macierzy głównej i rozszerzonej (oba równe 2) stosujemy twierdzenie Kroneckera - Capellego, które mówi, iż faktycznie układ ma rozwiązania zależne od 4-2=2 parametrów. Odnajdujemy w macierzy głównej układu minor, który byłby równy 2 i odrzucamy wszystkie równania, które przez ten minor nie są ujęte. Przykładowo - macierz rozszerzona układu wygląda tak:
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & & -1 \\1 & -1 & 1 & 5 & & 5 \end{array}\right]}\)
Jej rząd wynosi 2, zatem szukamy w niej minora stopnia 2, który się nie zeruje - takim jest chociażby minor, w którego górnym lewym rogu znajduje się element \(\displaystyle{ A_{23}=1}\). Odgradzając go, wyrzucamy równanie górne (i cały górny rząd macierzy), gdyż nie jest ujęte w tym minorze. wszystkie wyrazy w pozostałych równaniach przerzucamy na prawo tak, aby po lewej stronie pozostały tylko te zdefiniowane przez minor:
\(\displaystyle{ x_3 - x_4 = -1-x_1+x_2 \\ x_3 + 5x_4 = 5-x_1 + x_2}\)
Zauważmy, że po lewej stronie w nowym układzie nie ma wcale zdefiniowanych zmiennych \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) - są one zatem dowolne, jak pokazaliśmy z twierdzenia K-C.
Budujemy macierz rozszerzoną nowego układu:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & -1 & & -1-x_1+x_2 \\ 1 & 5 & & 5-x_1 + x_2 \end{array} \right]}\)
Powyższy jest już układem kramerowskim, czyli ma nieosobliwą macierz główną, przeto rozwiązujemy go standardowo - wyznacznik główny wynosi 6, po obliczeniu wyznaczników dla szukanych zmiennych i podzieleniu ich przez 6 dostaniemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ x_1, x_2 \mbox{ - dowolne} \\ x_3 = x_2 - x_1 \\ x_4 = 1}\)
Po obliczeniu rzędów macierzy głównej i rozszerzonej (oba równe 2) stosujemy twierdzenie Kroneckera - Capellego, które mówi, iż faktycznie układ ma rozwiązania zależne od 4-2=2 parametrów. Odnajdujemy w macierzy głównej układu minor, który byłby równy 2 i odrzucamy wszystkie równania, które przez ten minor nie są ujęte. Przykładowo - macierz rozszerzona układu wygląda tak:
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & & -1 \\1 & -1 & 1 & 5 & & 5 \end{array}\right]}\)
Jej rząd wynosi 2, zatem szukamy w niej minora stopnia 2, który się nie zeruje - takim jest chociażby minor, w którego górnym lewym rogu znajduje się element \(\displaystyle{ A_{23}=1}\). Odgradzając go, wyrzucamy równanie górne (i cały górny rząd macierzy), gdyż nie jest ujęte w tym minorze. wszystkie wyrazy w pozostałych równaniach przerzucamy na prawo tak, aby po lewej stronie pozostały tylko te zdefiniowane przez minor:
\(\displaystyle{ x_3 - x_4 = -1-x_1+x_2 \\ x_3 + 5x_4 = 5-x_1 + x_2}\)
Zauważmy, że po lewej stronie w nowym układzie nie ma wcale zdefiniowanych zmiennych \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) - są one zatem dowolne, jak pokazaliśmy z twierdzenia K-C.
Budujemy macierz rozszerzoną nowego układu:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & -1 & & -1-x_1+x_2 \\ 1 & 5 & & 5-x_1 + x_2 \end{array} \right]}\)
Powyższy jest już układem kramerowskim, czyli ma nieosobliwą macierz główną, przeto rozwiązujemy go standardowo - wyznacznik główny wynosi 6, po obliczeniu wyznaczników dla szukanych zmiennych i podzieleniu ich przez 6 dostaniemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ x_1, x_2 \mbox{ - dowolne} \\ x_3 = x_2 - x_1 \\ x_4 = 1}\)