znaleźć bazę i wymiar (sprawdznie czy dobrze)

[mateusz9411]

Witam, czy mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze rozwiązałem to zadanie:

Treść zadania:
Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni liniowej
\(\displaystyle{ V={ \left\{ \left( x,y,z,t \right) \in R^4:y+2t=x+y-2z-t=3x+y+t\right\} }}\),
wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ p= \left( -2,1,8,-6 \right)}\) w znalezionej bazie

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y+2t=x+y-2z-t \\ x+y-2z=3x+y+t \end{cases}\\
\begin{cases} x=3t+2z\\ -2z=2x+2t \end{cases}\\
\begin{cases} x=3t+2z \\ z=-x-t \end{cases}\\
\begin{cases} x= \frac{1}{3}t \\ z= -\frac{4}{3}t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ v \in V= \left( \frac{1}{3}t,y,-\frac{4}{3}t,t \right) =y \left( 0,1,0,0 \right) +t \left( \frac{1}{3},0,-\frac{4}{3},1 \right) \\
\textrm{lin} V=\left\{ v_1= \left( 0,1,0,0 \right) , v_2= \left( \frac{1}{3},0,-\frac{4}{3},1 \right) \right\}}\)

Sprawdzam liniową niezależność \(\displaystyle{ v_1,v_2}\)
Liczę rząd macierzy która składa się z wektorów \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) (Nie wiem jak wstawić macierz, ale wyszło mi, że rząd jest równy 2, więc wektory są liniowo niezależne)
\(\displaystyle{ \dim V=2}\)

Współrzędne wektora \(\displaystyle{ p}\) w bazie:
\(\displaystyle{ \left( -2,1,8,-6 \right) = \alpha_1 \left( 0,1,0,0 \right) +\alpha_2 \left( \frac{1}{3},0,-\frac{4}{3},1 \right) \\
\left( -2,1,8,-6 \right) = \left( \frac{1}{3}\alpha_2,\alpha_1,-\frac{4}{3}\alpha_2,1\alpha_2 \right) \\
\begin{cases} \alpha_1=1 \\ \alpha_2=-6 \end{cases}}\)

Czy jako odpowiedź współrzędne tego wektora mogę zapisać tak: \(\displaystyle{ \left[ p \right] _B= \left[ 1,-6 \right]}\)

[Kacperdev]

W porządku.