Nich \(\displaystyle{ h:V \times V \rightarrow R}\) będzie formą dwulniową symetryczną na skończenie wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ R}\) i niech \(\displaystyle{ A}\) będzie bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ h}\) jest iloczynem skalarnym wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ G\left( h,A\right)}\) jest kongrutentna nad \(\displaystyle{ R}\) z macierzą jednostkową \(\displaystyle{ I}\).
Iloczyn skalarny jest dodatnio określony zatem sygnatura takiej formy będzie równa sygnaturze macierzy jednostkowej. Ponadto rząd tej formy będzie pełny bo jej macierz jest nieosobliwa. Czy taka argumentacja wystarczy? Jeśli nie proszę o podpowiedz.