Wnioskowanie o wyznacznikach macierzy

[TrzyRazyCztery]

1 podać wzór na macierz odwrotną do A w terminach macierzy \(\displaystyle{ A^{D}}\)
2 korzystajac z 1 udowodnic że jesli A jest odwracalna to \(\displaystyle{ det\left( A\right) = \left( det\left( A\right)\right)^{n-1}}\)
3 wywnioskować z 2 że jesli A jest odwracalna to \(\displaystyle{ A^{D}}\) też
4 Dance sa macierze B i C wymiaru \(\displaystyle{ 5 \times 5}\) o ktorych wiadomo że \(\displaystyle{ det\left( B\right) = 9, det\left( C\right) = 3}\)
obliczyc \(\displaystyle{ det\left( det\left( C\right) B^{T}C^{-1}\right)}\)

wzór to raczej prosto \(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{det\left( A\right) } \cdot A^{D}}\)

nie wiem co zrobić z 2 i 3

4 rozwiązałem w taki sposób
\(\displaystyle{ det \left( det \left( C\right) \cdot B^{T} \cdot C^{-1}\right) = det \left( 3 \cdot B^{T} \cdot C^{-1} \right) = 3^{5} \cdot det\left( B^{T} \right) \cdot det \left( C^{-1}\right) =

= 3^{5} \cdot det\left( B\right) \cdot \frac{1}{det \left( C\right) } = 3^{5} \cdot 9 \cdot \frac{1}{3} = 3^{5} \cdot 3^{2} \cdot 3^{-1} = 3^{6}}\)
Czy wynik jest poprawny?

[humanistyczna dusza]

Ad 2.
Prawidłowo sformułowane twierdzenie: \(\displaystyle{ det\left( A^D\right) = \left( det\left( A\right)\right)^{n-1}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{det\left( A\right) } \cdot A^{D} \Rightarrow A^D = det\left( A\right)A^{-1} \Rightarrow det(A^D) = det(det\left( A\right)A^{-1})}\)
Wyznacznik jest funkcją liniową względem kolumn macierzy. To oznacza w szczególności, że jeśli jakaś kolumna jest pomnożona przez pewien skalar, to znaczy, że możemy go wyciągnąć przed wyznacznik. Tutaj macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) jest pomnożona przez skalar \(\displaystyle{ det\left( A\right)}\). To znaczy, że każda kolumna jest pomnożona przez ten skalar, czyli możemy go wyciągnąć \(\displaystyle{ n}\) razy. Stąd: \(\displaystyle{ det(A^D) = det(det\left( A\right)A^{-1}) = det(A)^n det(A^{-1}) = det(A)^{n-1}det(AA^{-1}) = det(A)^{n-1}}\)

Ad 3.
\(\displaystyle{ A}\) jest odwracalna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow det(A) \neq 0 \Leftrightarrow det(A)^{n-1} \neq 0 \Rightarrow det(A^{D}) \neq 0 \Rightarrow A^D}\) jest odwracalna.

Czwarte rozwiązałeś dobrze.

[TrzyRazyCztery]

\(\displaystyle{ det(A)^n det(A^{-1}) = det(A)^{n-1}det(AA^{-1})}\)
Nie rozumiem tego przekształcenia

[michal17]

Wynika ono z własności wyznacznika, z której sam korzystałeś w zadaniu 4.

\(\displaystyle{ det(A)det(B)=det(AB)}\)

[TrzyRazyCztery]

AAAAAA n-ty det zabieramy i dorzucamy do odwrotnosci A, Dzieki