Nie jestem pewien czy wybrałem odpowiedni dział. Mam problem z kilkoma przykładami, niestety na zajęciach z prowadzącym zrobiliśmy tylko jeden, najprostszy, z innymi nie mogę sobie poradzić. Proszę o pomoc chociaż z jednym, może na jego podstawie zrobię jakoś resztę.
Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe:
d) elipsoida \(\displaystyle{ S = \left\{ x : (x - x_{c})^{T}P^{-1}(x - x_{c}) \le 1\right\}, x_{c}}\) - środek elipsoidy, P - macierz symetryczna, dodatnio określona
e) stożek \(\displaystyle{ S = \left\{ (x, t) : ||x|| \le t\right\}, t \in R_{+};}\)
f) wielościan \(\displaystyle{ S = \left\{ x : Ax \preceq b, Cx = d\right\};}\)
g) zbiór macierzy symetrycznych \(\displaystyle{ S^{n}}\) o wymiarach n x n.
To moje rozwiązanie przykładu f), nie wiem czy jest poprawne:
\(\displaystyle{ S = \left\{ x : Ax \preceq b, Cx = d\right\}\\*
\\*
x_{1}, x_{2} \in S\\*
Ax_{1} \preceq b\\*
Ax_{2} \preceq b\\*
\\*
A(\Theta x_{1} + (1-\Theta)x_{2}) \preceq b\\*
\Theta Ax_{1} + Ax_{2} - \Theta Ax_{2} \preceq b\\*
\Theta b + b - \Theta b \preceq b\\*
0 \preceq 0\\*
\\*
Cx_{1} = b\\*
Cx_{2} = b\\*
\\*
C(\Theta x_{1} + (1-\Theta)x_{2}) = b\\*
\Theta Cx_{1} + Cx_{2} - \Theta Cx_{2} = b\\*
\Theta b + b - \Theta b = b\\*
0 = 0}\)
