Niech \(\displaystyle{ h: R^{3} \times R^{3} \rightarrow R}\) bedzie forma dwuliniowa dana wzorem :
\(\displaystyle{ h(x,y)=rx_{1} y_{1}+2 x_{1} y_{2} +2 x_{2} y_{1}+4 x_{2} y _{2}+5 x_{1} y_{3}+ 5x_{3} y_{1}+2 x_{2} y_{3}+2 x_{3} y_{2}+5x _{3} y_{3}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ r \in R}\). Znaleźć jeśli istnieje baze \(\displaystyle{ R^{3}}\) która jest prostopadła względem h i ortonormalna względem standardowego iloczynu skalarnego.
Więc tak, ta macierz jest symetryczna więc jest ortogonalnie podobna do pewnej macierzy diagonalnej.
Jeśli wzielibyśmy \(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{3}}\) zadane ta macierzą to baza złożona z wektorów wlasnych f (ktore sa prostopadłe względem standardowego iloczynu skalarnego bo f jest samosprzezone ) byłaby prostopadła wgledem h. I tu sie zaczyna problem, przy liczeniu wielomianu charakterystycznego. Nie moge go zwinąc aby dało się jakoś uzależnić od r. Czy istnieje jakiś inny sposob by to zrobić ?